高考数学二轮复习 大题考法专训（一）解三角形-人教版高三全册数学试题VIP免费

大题考法专训（一）解三角形A级——中档题保分练1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－cos2C＝sin2A＋sinAsinB．(1)求角C的大小；(2)若A＝，△ABC的面积为4，M为BC的中点，求AM.解：(1)由cos2B－cos2C＝sin2A＋sinAsinB，得sin2C－sin2B＝sin2A＋sinAsinB．由正弦定理，得c2－b2＝a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝＝＝－.因为0＜C＜π，所以C＝.(2)因为A＝，所以B＝.所以△ABC为等腰三角形，且顶角C＝.因为S△ABC＝absinC＝a2＝4，所以a＝4.在△MAC中，AC＝4，CM＝2，C＝，所以AM2＝AC2＋CM2－2AC·CM·cosC＝16＋4＋2×4×2×＝28，所以AM＝2.2．(2019·长沙统考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.解：(1)由题设得asinC＝ccos，由正弦定理得sinAsinC＝sinCcos，所以sinA＝cos，所以2sincos＝cos，所以sin＝，故A＝60°.(2)由题设得bcsinA＝，从而bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝(b＋c)2－12.又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，sinC＝.(1)若cosB＝，求b的值；(2)若a＋b＝11，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为cosB＝，且B∈(0，π)，所以sinB＝，根据正弦定理＝，及c＝7，sinC＝，解得b＝5.(2)在△ABC中，因为sinC＝，所以cosC＝±.当cosC＝时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得49＝121－2ab－，所以ab＝30，所以解得或所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝6.当cosC＝－时，根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，及a＋b＝11，c＝7，得ab＝45，此时方程组无解．综上，△ABC的面积为6.B级——拔高题满分练1．(2019·福州质检)在Rt△ABC中∠C＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.(1)求边DE的长；(2)若AD＝3，求sinA的值．解：(1)如图，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，所以sin∠DCE＝，因为0°＜∠DCE＜90°，所以cos∠DCE＝＝，所以DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，所以DE＝2.(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，在△ADC中，由正弦定理，得＝，即＝，所以sinA＝.2．(2019·昆明质检)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acosB)＝b.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由2(c－acosB)＝b及正弦定理得2(sinC－sinAcosB)＝sinB，所以2sin(A＋B)－2sinAcosB＝sinB，即2cosAsinB＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝，又0＜A＜π，所以A＝.(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sinB，c＝4sinC，所以S△ABC＝bcsinA＝bc＝4sinBsinC.因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sinC＝sin，所以S△ABC＝4sinBsin＝4sinB＝2sinBcosB＋2sin2B＝sin2B－cos2B＋＝2sin＋.因为0＜B＜，所以－＜2B－＜，所以－＜sin≤1，所以0＜S△ABC≤2＋.即△ABC面积的取值范围为(0,2＋]．3.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.(1)求CD；(2)求∠ABC.解：(1)∵S△BCD＝BD·BC·sin∠CBD＝，BC＝2，BD＝3＋，∴sin∠CBD＝.∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，∴CD＝3.(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BDC＝.∵BC＜BD，∴∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝.在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝.①在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝.②∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.由①②得＝，解得sin∠ABC＝.∴∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.