高考数学二轮复习 专题过关检测（十六）立体几何 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题过关检测（十六）立体几何1．(2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥PABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比．解：(1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC， PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)设三棱锥FACE的高为h1，三棱锥PABC的高为h，则VFACE＝×S△ACE×h1＝×S△ABC××h×＝×S△ABC×h×＝×VPABC.∴三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比为1∶2.2．(2020届高三·福建五校第二次联考)如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)证明：PQ∥平面ABCD；(2)若CD⊥BE，EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，求五面体ABCDFE的体积．解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC.又AD⊂平面ADF，BC⊄平面ADF，所以BC∥平面ADF.又BC⊂平面BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ.又PQ⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.(2)由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE.由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，即CD，CE，CB两两垂直．如图，连接FB，FC，因为EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，所以CD＝2，BC＝3，V四棱锥FABCD＝×(2×3)×1＝2，V三棱锥FBCE＝××1＝，所以VABCDFE＝V四棱锥FABCD＋V三棱锥FBCE＝2＋＝.3．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图②所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE⊥平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明： 四边形ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.(2)＝，理由如下：取D1E的中点L，连接FL，AL，∴FL∥EC.又EC∥AB，∴FL∥AB，且FL＝AB，∴M，F，L，A四点共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AL.∴四边形AMFL为平行四边形，∴AM＝FL＝AB，即＝.4．(2019·蓉城名校第一次联考)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝2BC＝2，AP＝AC，BP＝3BC.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若∠PAD为锐角，且PA与平面ABCD所成角的正切值为2，求点C到平面PAB的距离．解：(1)证明：在直角梯形ABCD中， BC＝1，AB＝2，AB⊥BC，∴AC＝，即AP＝AC＝，BP＝3BC＝3，∴BA2＋AP2＝BP2，∴BA⊥AP，又AD∥BC，∴BA⊥AD，又AP∩AD＝A，∴BA⊥平面PAD， BA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)如图，过点P作PO⊥AD交AD于点O，连接OC，由(1)可知PO⊥平面ABCD，则∠PAO为PA与平面ABCD所成的角，∴tan∠PAO＝2.又AP＝，∴AO＝1，PO＝2.∴AO綊BC，∴四边形ABCO为矩形，∴OC⊥AD.设点C到平面PAB的距离为d，由V三棱锥CPAB＝V三棱锥PABC，可得·S△PAB·d＝·S△ABC·PO，∴d＝PO·＝2×＝.故点C到平面PAB的距离为.5.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD＝2EF＝2，ED＝，M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.(1)求证：ED⊥CD；(2)求证：AD∥MN；(3)若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD.又因为CD⊥EA，EA∩AD＝A，所以CD⊥平面EAD.因为ED⊂平面EAD，所以ED⊥CD.(2)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，又因为AD⊄平面FBC，BC⊂平面FBC，所以AD∥平面FBC.又因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，所以AD∥MN.(3)平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：连接DF.因为AD⊥ED，AD⊥CD，ED∩CD＝D，所以AD⊥平面CDEF.所以AD⊥DM.因为AD∥MN，所以DM⊥MN.因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，所以若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC.在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD＝2EF＝2，ED＝，所以DF＝DC＝2.所以若使DM⊥FC成立，则M为FC的中点．所以＝.6．(2019·福州质检)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，...