三角函数三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2<β<α<43,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值_________.●案例探究[例1]不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托:熟知三角公式并能灵活应用.错解分析:公式不熟,计算易出错.技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会.解法一:sin220°+cos280°+3sin220°cos80°=21(1-cos40°)+21(1+cos160°)+3sin20°cos80°=1-21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1-21cos40°+21(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-21cos40°-41cos40°-43sin40°+43sin40°-23sin220°=1-43cos40°-43(1-cos40°)=41解法二:设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°y=cos220°+sin280°-3cos20°sin80°,则x+y=1+1-3sin60°=21,x-y=-cos40°+cos160°+3sin100°=-2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x=y=41,即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=41.[例2]设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a),试确定满足f(a)=21的a值,并对此时的a值求y的最大值.命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错.技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解:由y=2(cosx-2a)2-2242aa及cosx∈[-1,1]得:f(a))2(41)22(122)2(12aaaaaa f(a)=21,∴1-4a=21a=81[2,+∞)故-22a-2a-1=21,解得:a=-1,此时,y=2(cosx+21)2+21,当cosx=1时,即x=2kπ,k∈Z,ymax=5.[例3]已知函数f(x)=2cosxsin(x+3)-3sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;(3)若当x∈[12,127]时,f(x)的反函数为f-1(x),求f--1(1)的值.命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力,属★★★★★级题目.知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析:在求f--1(1)的值时易走弯路.技巧与方法:等价转化,逆向思维.解:(1)f(x)=2cosxsin(x+3)-3sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos3+cosxsin3)-3sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+3)∴f(x)的最小正周期T=π(2)当2x+3=2kπ-2,即x=kπ-125(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.(3)令2sin(2x+3)=1,又x∈[27,2],∴2x+3∈[3,23],∴2x+3=65,则x=4,故f--1(1)=4.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值.2.技巧与方法:1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法.4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均tanα、tanβ,且α,β∈(-2,2),则tan2的值是()A.21B.-2C.34D.21或-2二、填空题2.(★★★★)已知sinα=53,α∈(2,π),tan(π-β)=21,则tan(α-2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4),β∈(0,4),cos(α-4)=53,sin(43+β)=135,则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos1)370tan31(100sin130sin25.已知cos(4+x)=53,(1217<x<47),求xxxtan1sin22sin2的值.6.(★★★★★)已知α-β=38...