解析几何与向量(高考数学压轴题常考题型)1.设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.分析：本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。函数与方程思想，以方程的意识解决平面解析几何问题解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3abc所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22123,,3,3PFPFxyxyxyuuuruuuur2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPFuuuruuuur有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPFuuuruuuur有最大值1解法二：易知2,1,3abc，所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22212121212121212cos2PFPFFFPFPFPFPFFPFPFPFPFPFuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur2222221331232xyxyxy（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x不满足题设条件，可设直线1222:2,,,,lykxAxyBxy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx∴12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000ABABOAOBuuuruuur∴12120OAOBxxyyuuuruuur又2121212122224yykxkxkxxkxx22223841144kkkk22114kk 2223101144kkk，即24k∴22k故由①、②得322k或322k2．（07福建）如图，已知点(10)F，，http://50953.7caiedu.cn本店铺更多免费资料直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQuuuruuuruuuruuurgg．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M，已知1MAAFuuuruuur，2MBBFuuuruuur，求12的值；分析：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．函数与方程的思想，等价转化思想方法解法一：（Ⅰ）设点()Pxy，，则(1)Qy，，由QPQFFPFQuuuruuuruuuruuurgg得：PBQMFOAyOyx11lF(10)(2)(1)(2)xyxyygg，，，，，化简得2:4Cyx．（Ⅱ）设直线AB的方程为：1(0)xmym．设11()Axy，，22()Bxy，，又21Mm，，联立方程组241yxxmy，，，消去x得：2440ymy，2(4)120m，故121244yymyy，．由1MAAFuuuruuur，2MBBFuuuruuur得：1112yym，2222yym，整理得：1121my，2221my，12122112myy121222yymyyg2424mmg0．解法二：（Ⅰ）由QPQFFPFQuuuruuuruuuruuurgg得：()0FQPQPFuuuruuuruuurg，()()0PQPFPQPFuuuruuuruuuruuurg，220PQPFuuuruuur，PQPFuuuruuur．所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx．（Ⅱ）由已知1MAAFuuuruuur，2MBBFuuuruuur，得120g．则：12MAAFMBBFuuuruuuruuuruuur．⋯⋯⋯⋯①过点AB，分别作准线l的垂线，垂足分别为1A，1B，则有：11MAAAAFMBBBBFuuuruuuruuuruuuruuuruuur．⋯⋯⋯⋯②由①②得：12AFAFBFBFuuuruuuruuuruuur，即120．3．如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FHFG，求的取值范围.分析：本小题主要考查直线、圆、椭圆、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．函数与方程的思想，等价转化思想方法解：（I）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca∴曲线E的方程为.1222yx（II）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由设2212212211213,214),,(),,(kxxkkxxyxHyxG则)2,()2,(,2211yxyxFHFG又2122221222122121)1(.,)1(,xxxxxxxxxxxxx，222222)1()121(316,213)1()214(kkkk整理得.331.316214.316323164,2322解得kk.131,10又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求4.已知方向向量为v=(1,3)的直线l过点（0，－23）和椭圆C：)...
