·多元函数积分学习题及答案第一节矢量代数一、内容精要（一）基本概念1.矢量的概念定义4.1一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。定义4.2两个矢量a与b，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作ba.换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。kajaiaa3211(称为按照kji,,的坐标分解式，},,{321aaaa称为坐标式。.||232221aaaa若,0a记||0aaa。知0a是单位矢量且与a的方向一致，且0||aaa。因此，告诉我们求矢量a的一种方法，即只要求出a的大小||a和与a方向一致的单位矢量0a，则.||0aaa若},{321aaaa，知},cos,cos,{cos},,{2322213232221223222110aaaaaaaaaaaaa其中..是a分别与Ox轴，Oy轴，Oz轴正向的夹角，而,cos,cos,cos232221323222123322211aaaaaaaaaaaa且.1coscoscos2222.矢量间的运算设}.,,{},,,{},,,{321321321ccccbbbbaaaa).0||,0|(|||||cos),0(cos||||bababababa.cos,232221232221332211332211bbbaaabababababababaaaaaaaaa知,0cos2ba的确定（1）,sin||||||baba（2）ba与ba,所确定的平面·0,0||,||,(babababa即知若，方向可任意确定）垂直，且baba,,构成右手系若cba,,用坐标式给出，则kabbajbabaibababbbaaakjiba)()()(212113312332321321由行列式的性质可知.abbaba的几何意义：ba表示以ba,为邻边的平行四边形的面积，即.||sin||||||shababa容易知道以ba,为邻边的三角形面积为||21bas.容易验证.||||||2222bababa321321321)(cccbbbaaacbacba)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。cba)(的几何意义|)(|cba表示以cba,,为邻边的平行六面体的体积，即cos|||||)(|cbacba.||cos||||vshhbacba容易知道以cba,,为邻边的四面体的体积为.|)(|61cbaVba的应用特别重要，既若直线L既垂直矢量a，也垂直矢量bab,且不平行，则L与ba,确定的平面垂直，又ba也与ba,确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L与ba平行，换句话说ba是直线L的方向向量，是ba,确定平面的法矢量，这对于求直线方程baba图4-1bahsin||bh图4-2图4-3cb图4-4c·与平面方程显得非常重要。3.矢量间的关系1.00332221bababababa.2.bababa,0||的分量对应成比例0b若，总存在唯一的常数，使ba。以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住.3.cba,,共面cbcba,0)(若不共线总存在唯一的两个实数m,n，使cnbma.4.设三个矢量321,,eee不共面，则对空间任一矢量a，总存在唯一的三个常，m,n,使.321enemela5.设0b，ba在上的投影指的是把a的起点平移到b的起点O，过a的终点作b的垂线交b上一点P，OP称为a在b的投影，记作.aPbrj||||cos||||cos||00bbabbababaaOPaPbrj,即.)(,||000bbaOPbbabaaPbrj而这个公式对我们在后面求点到直线上距离，点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有帮助。二、考题类型、解题策略及典型例题类型1.1求矢量的模解题策略1.aaa，2.},,{321aaaa，.||232221aaaa例4.1.1已知cba,,互相垂直，且3||,2||,1cba，求cbas的模。分析利用0baba与aaa，下一题类似.解由cba,,两两垂直，知222||,||,||,0,0,0cccbbbaaacbcaba，知14321||||||)()(||222222cbacbacbasss.例4.1.2设bababakBbaA且其中,2||,1||,,2，若以BA,为邻边的平行aaOθbP图4-5·四边行的面积为6，求常数k。解,2244||||4)2()2(||22bababaA4||||)()(||2222kbakbakbakB|42||||||2||)()2(|||22kbakbakbaBA由公式,||||)(||2222BABABA得054)4(8)42(62222kkkk.51,0)1)(5(kkkk或解得例4.1.3已知cba,,都是单位矢量且0cba，求.accbba分析利用0baba与aaa.解由0)()(0cbacbacba,0)(2||||||222accbbacba又1||||||222cba，故.23accbba例4.1.4设}2,0,2{},0,1,1{ba，向量bav,与共面且.,3vvPvPbrjarj求解法一设bavzyxv,,},,,{由共面，知，002220202011zyxzyxzyx（1）由条件3cParj，有,3||ava即.2332yxyx（2）由条件,3||,3bcbcPbrj有即.2332222zxzx（3）（1）、（2）（3）三式联立，解得2,22zyx，所以}.22,22{，v解法...
