(整理)函数的单调性与极值.VIP免费

精品文档精品文档函数的单调性与极值函数)(xfy单调性的考察，可用当21xx时，比较)(1xf与)(2xf的大小来进行判定的.但判定)(1xf与)(2xf的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数)(xfy在某区间上单调增加，其图形是一条沿x轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即0)(xfy；若单调减少，其图形是一条沿x轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即0)(xfy，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？0)(xf0)(xf定理1设函数)(xf在区间),(ba内可导.（1）如果在),(ba内0)(xf，那么)(xf在),(ba内单调增加；（2）如果在),(ba内0)(xf，那么)(xf在),(ba内单调减少.证明（1）在),(ba内任取两点21,xx，且21xx，根据拉格郎日中值定理，存在一点（21xx），使))(()()(1212xxfxfxf（1）因为在区间),(ba内有0)(xf，则（1）式中的0)(f，而012xx，因此由（1）式知)()(12xfxf，这就是说)(xf在),(ba内单调增加.同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数3xy的导数23xy，在0x时，0y，但它在区间),(内是单调增加.例1判定函数13xeyx的单调性.解因为函数的定义域为),(，其导数为3xey，所以在整个定义域内都有0y，故函数13xeyx在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示.函数)(xf在区间],[],,[21bxxa上单调增加，而在区间],[21xx上单调减少，且从图3-3上容易看到，ABAyxoaby=f(x)yxoaby=f(x)图3-2精品文档精品文档可导函数)(xf在单调增加、减少的分界点处的导数为零，即0)()(21xfxf.使导数等于零的点（即方程0)(xf的实根），叫做函数)(xf的驻点.因此要确定可导函数)(xf的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.例2讨论函数)(xfxxx2213123的单调性解因为)1)(2(2)(2xxxxxf，令0)(xf，得驻点1,221xx.这两点将)(xf的定义域),(分成三个部分：),1(),1,2(),2,(，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“”表示单调增加，“”表示单调减少）x)2,(2（)1,21),1()(xf+0--0+)(xf313651根据上面的讨论可得：函数)(xf在区间)2,(和),1(内单调增加，在区间（)1,2内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点.例3确定函数32xy的单调区间.解函数的定义域为),(，而332xy，显然当0x时，函数的导数不存在，又函数没有驻点.但当0x时，有0y，函数在区间),0(内单调增加；当0x时，有0y，函数在区间)0,(内单调减少.二、函数的极值定义3.1设函数)(xf在),(0xN有定义，且对此邻域内任一点x)(0xx均有)(xf)(0xf，则称)(0xf是函数)(xf的一个极大值；如果对此邻域内任一点x)(0xx均有)(xf)(0xf，则称)(0xf是函数)(xf的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x称为极值点.yxbaox1x2x3x图3-3xyo图3-4精品文档精品文档从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点：（1）函数的极大值和极小值是局部概念，即如果)(0xf是)(xf的极值，只是对极值点0x的左右近旁一个小范围来讲的.（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个极小值，且其中的极大值未必比极小值要大.如图3-5，极大值)(1xf就比极小值)(5xf还要小.（3）函数的极值只能在区间内部取到.求极值的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如0)(3xf.定理2（极值存在的必要条件）设函数)(xf在点0x处导数存在，且在0x处取得极值，则函数)(xf在0x处的导数0)(0xf，即0x是函数)(xf的驻点.注意，定理3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数3xy，在0x处有00xy，但00xy不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点.对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如)(xf||x，显然，)0(f不存在.但0x且是它的一个极小值点，在||)(xxf图形上，)0,0(称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能...