。-可编辑修改-【例1】在ABC△中,BABCBAC,,M是AC的中点,P是线段上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.(1)若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数;(2)在图2中,点P不与点BM,重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;BM(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQQD,请直接写出的范围.(2012北京中考)【答案】(1)补全图形,见图1;30CDB;D图1BCQAM(P)MAQCB图2P(2)猜想:90CDB.证明:如图2,连结ADPC,.真题链接对角互补和角含半角旋转。-可编辑修改-BABCMQ,是AC的中点,BMAC.Q点DP,在直线BM上,PAPCDADC,.又QDP为公共边,ADPCDP..DAPDCPADPCDP,又PAPQQ,PQPC...180180.DCPPQCDAPPQCPQCDQPDAPDQPQ,在四边形APQD中,180ADQAPQ.21802.190.2APQADQCDBADQQ,(3)的范围是4560.一、对角互补旋转【例1】在等腰直角ABC中,90ACBo,ACBC,M是AB的中点,点P从B出发向C运动,MQMP交AC于点Q,试说明MPQ的形状和面积将如何变化.APMCQBAPMCQB【答案】连接.因为ACBC且90ACBo,所以45Bo.因为M是AB的中点,所以90AMCBMCo,45ACMo且CMBM,则ACMB.因为MQMP,所以90QMCCMPPMBo,所以QCMPBM≌,所以QMPM.因此MPQ是等腰直角三角形,在P的运动过程中形状不变.MPQ的面积与边MP的大小有关.当点P从B出发到BC中点时,面积由大变小;课堂练习。-可编辑修改-当P是BC中点时,三角形的面积最小;P继续向点C运动时,面积又由小变大.【例2】如图所示,在四边形ABCD中,90ADCABC,ADCD,DPAB于P,若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.CMPDCBAABCDEP【答案】如图,过点D作,延长BC交DE于点E,容易证得ADPCDE≌(实际上就是把ADP逆时针旋转90,得到正方形DPBE) 正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16,∴4DP.【例3】在五边形ABCDE中,已知ABAE,BCDECD,180ABCAEDo,连接AD.求证:AD平分CDE.EDCBAFEDCBA【答案】连接AC.由于ABAE,180ABCAEDo.我们以A为中心,将ABC逆时针旋转到AEF的位置.因ABAE,所以B点与E点重合,而180AEFAEDABCAEDo,所以D、E、F在一条直线上,C点旋转后落在点F的位置,且AFAC,EFBC.所以DFDEEFDEBCCD.在ACD与AFD中,因为ACAF,CDFD,ADAD,故ACD≌AFD,因此ADCADF,即AD平分CDE.【例4】在平面直角坐标系xOy中,直线6yx与x轴交于点A,与y轴交于点B.(1)求∠BAO的度数;(2)如图1,P为线段AB上一点,在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD.点Q在AD上,连结PQ,过作射线PF⊥PQ交x轴于点F,作PG⊥x轴于点G.求证:PF=PQ;。-可编辑修改-(3)如图2,E为线段AB上一点,在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED.若P为线段EB的中点,连接PD、PO,猜想线段PD、PO有怎样的关系?并说明理由.【答案】(1)直线6yx与x轴交于点A,与y轴交于点B.∴A(-6,0),B(0,6).∴OA=OB.∴BAOABO在△AOB中,90AOB.∴45BAOABO.(2)在等腰直角三角形APD中,90PDA,DA=DP,145APD.∴DP⊥AD于D.由(1)可得45BAO.∴1BAO.又 PG⊥x轴于G,∴PG=PD.∴90AGPPGFD.∴445BAO.∴490APDDPG.即390GPQ.又 PQ⊥PF,∴290GPQ.∴23.在△PGF和△PDQ中,,,23,PGFDPGPD∴△PGF≌△PDQ(ASA).∴PF=PQ.图1图2y。-可编辑修改-(3)答:OP⊥DP,OP=DP.证明:延长DP至H,使得PH=PD. P为BE的中点,∴PB=PE.在△PBH和△PED中,,12,,PBPEPHPD∴△PBH≌△PED(SAS).∴BH=ED.∴34.∴BH∥ED.在等腰直角三角形ADE中,AD=ED,45DAEDEA.∴AD=BH,90DAEBAODAO.∴DE∥x轴,BH∥x轴,BH⊥y轴.∴90DAOHBO.由(1)可得OA=OB.在△DAO和△HBO中,,,,ADBHDAOHBOOAOB∴△DAO≌△HBO(SAS).∴OD=OH,∠5=∠6. 590AOBDOB,∴690DOHDOB.∴在等腰直角三角形△DOH中, DP=HP,2x图1ABQGPOFD134756图2DAEBOyPxH3412。-可编辑修改-∴OP⊥DP,12745DOH.∴7ODP.∴OP=PD.二、角含半角旋转【例5】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且45EAF∠,AHEF,H为垂足,求证:AHAB.CHFEDBAC...