。-可编辑修改-【例1】在ABC△中，BABCBAC，，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ．（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点BM，重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；BM（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围．（2012北京中考）【答案】（1）补全图形，见图1；30CDB；D图1BCQAM(P)MAQCB图2P（2）猜想：90CDB．证明：如图2，连结ADPC，．真题链接对角互补和角含半角旋转。-可编辑修改-BABCMQ，是AC的中点，BMAC．Q点DP，在直线BM上，PAPCDADC，．又QDP为公共边，ADPCDP．.DAPDCPADPCDP，又PAPQQ，PQPC．..180180.DCPPQCDAPPQCPQCDQPDAPDQPQ，在四边形APQD中，180ADQAPQ．21802.190.2APQADQCDBADQQ，（3）的范围是4560．一、对角互补旋转【例1】在等腰直角ABC中，90ACBo，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．APMCQBAPMCQB【答案】连接．因为ACBC且90ACBo，所以45Bo．因为M是AB的中点，所以90AMCBMCo，45ACMo且CMBM，则ACMB．因为MQMP，所以90QMCCMPPMBo，所以QCMPBM≌，所以QMPM．因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变．MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；课堂练习。-可编辑修改-当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．【例2】如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD的面积是16，求DP的长．CMPDCBAABCDEP【答案】如图，过点D作，延长BC交DE于点E，容易证得ADPCDE≌（实际上就是把ADP逆时针旋转90，得到正方形DPBE） 正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为16，∴4DP．【例3】在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，180ABCAEDo，连接AD．求证：AD平分CDE．EDCBAFEDCBA【答案】连接AC．由于ABAE，180ABCAEDo．我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AEF的位置．因ABAE，所以B点与E点重合，而180AEFAEDABCAEDo，所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AFAC，EFBC．所以DFDEEFDEBCCD．在ACD与AFD中，因为ACAF，CDFD，ADAD，故ACD≌AFD，因此ADCADF，即AD平分CDE．【例4】在平面直角坐标系xOy中，直线6yx与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF＝PQ；。-可编辑修改-（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．【答案】（1）直线6yx与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（－6，0），B（0，6）．∴OA=OB．∴BAOABO在△AOB中，90AOB．∴45BAOABO．（2）在等腰直角三角形APD中，90PDA，DA=DP，145APD．∴DP⊥AD于D．由（1）可得45BAO．∴1BAO．又 PG⊥x轴于G，∴PG=PD．∴90AGPPGFD．∴445BAO．∴490APDDPG．即390GPQ．又 PQ⊥PF，∴290GPQ．∴23．在△PGF和△PDQ中，,,23,PGFDPGPD∴△PGF≌△PDQ（ASA）．∴PF=PQ．图1图2y。-可编辑修改-（3）答：OP⊥DP，OP＝DP．证明：延长DP至H，使得PH=PD． P为BE的中点，∴PB=PE．在△PBH和△PED中，,12,,PBPEPHPD∴△PBH≌△PED（SAS）．∴BH=ED．∴34．∴BH∥ED．在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，45DAEDEA．∴AD=BH，90DAEBAODAO.∴DE∥x轴，BH∥x轴，BH⊥y轴．∴90DAOHBO．由（1）可得OA=OB．在△DAO和△HBO中，,,,ADBHDAOHBOOAOB∴△DAO≌△HBO（SAS）．∴OD=OH，∠5=∠6． 590AOBDOB,∴690DOHDOB.∴在等腰直角三角形△DOH中， DP=HP，2x图1ABQGPOFD134756图2DAEBOyPxH3412。-可编辑修改-∴OP⊥DP，12745DOH.∴7ODP．∴OP=PD．二、角含半角旋转【例5】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．CHFEDBAC...
