平面向量知识讲解一、向量的基本概念1.向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．2.向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后．3.相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．4.向量共线或平行：通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．5零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．二、平面向量的线性运算1.向量的加法：1）向量加法的三角形法则：已知向量,ab，在平面上任取一点A，作ABa，BCb，再作向量AC，则向量AC叫做a和b的和（或和向量），记作ab，即abABBCAC．a+bababa+bba2）向量求和的平行四边形法则：①已知两个不共线的向量a，b，作ABa，ADb，则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量ACab，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则．②向量的运算性质：向量加法的交换律：abba向量加法的结合律：()()abcabc关于0：00aaa2.向量的减法：1）相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a．2）零向量的相反向量仍是零向量．3）差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．4）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．3.数乘向量：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长aa4.向量共线的条件：如果ab，则a∥b；反之，如果a∥b，且0b，则一定存在唯一的一个实数，使ab．三、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果1e和2e是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任aba-bba一向量a，存在唯一的一对实数1a，2a，使a1122aeae．2.基底：我们把不共线向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记12,ee．1122aeae叫做向量a关于基底12,ee的分解式．注意：①定理中1e，2e是两个不共线向量；②a是平面内的任一向量，且实数对1a，2a是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．四、向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标运算：设12(,)aaa，12(,)bbb，则①1122(,)ababab；②1122(,)ababab；③1212(,)(,)aaaaa2.坐标表示：若11(,)Axy，22(,)Bxy，则向量2121(,)ABOBOAxxyy；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．3.用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)aaa，12(,)bbb，则12210abab就是两个向量平行的条件．若向量b不平行于坐标轴，即10b，20b，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：已知两个非零向量ab，，作OAa，OBb，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作ab，，并规定0ab≤，≤，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有abba，，．当π2ab，时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab．2.向量的数量积（内积）定义：cosabab，叫做向量a和b的数量积（或内积），记作ab，即cos,ababab3.向量内积的性质1）e是单位向量，则cos,aeeaaae；2）a⊥0bab，且0aba⊥b；3）2aaa，即aaa；4）cos,ababab；5）abab≤．4.向量数量积的运算律1）交换律：abba；()()()ababab．2）分配律：()abcacbc5.向量数量积的坐标运算与度量公式1）向量内积的坐标运算：建立正交基：12,ee，已知12(,)aaa，12(,)bbb，1122ababab．2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a11220babab3）向量的长度公式：已知12(,)aaa，则2212aaa，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．4）两点间的距离公式：如果11(,)Axy，22(,)Bxy，则222121()()ABxxyy．5）两个向量夹角余弦的坐标表达式：112222221212cosabababaabb．经典例题一．填空题（共8小题）1．（2018春?福州期末）如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则=4．【解答】解：||≥||=|﹣|，两边平方可得，﹣2t?+t2≥﹣2?+，设?=m，则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，又|...
