比较实数大小的八种方法张德军生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。一、法则法比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。例1比较与的大小。析解:由于,且,所以。说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。二、平方法用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、b有:。例2比较与的大小。析解:由于,而,所以。说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c表示的点画出来,容易得到结论:四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。例4比较与的大小。析解:由于,故,所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据是:对任意正实数a、b有:例5比较与的大小析解:因为,又因为,所以所以说明:对于两个形如(,且k是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。六、作差法用作差法比较实数的大小的依据是:对任意实数a、b有:例6比较与的大小。析解:设,则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据是:对任意正数a、b有:例7比较与的大小。析解:设,,则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。例8比较与198的大小。析解:由于所以取n=2,3,4…10000代入上式,并将所得的不等式相加得:即所以两个实数大小的比较,方法多种多样,在实际操作时,根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较,才能方便快捷地取得准确的结果。