（江苏专用）高考数学一轮复习 第六章 数列 6.5 数列通项公式的求法 文-人教版高三数学试题VIP免费

1．等差数列的通项公式(1)若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．2．等比数列的通项公式(1)首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.(2)推广形式：an＝am·qn－m或am＝an·qm－n.3．常用结论(1)若{an}是等差数列，k∈N*，则{kan}也是等差数列．(2)若{bn}是等差数列，公差为D，{an}为等差数列，公差为d，则{an±bn}仍为等差数列，其公差为d±D.(3)若{an}、{bn}为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、、{a}、{manbn}(m≠0)仍为等差数列．(4){an}是等差数列⇔{(cn)a}(c>0，c≠1)是等比数列．{an}是正项等比数列⇔{logcan}(c>0，c≠1)是等差数列．{an}既是等差数列又是等比数列⇔{an}是各项不为零的常数列．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}的通项公式an＝3n＋2，则数列{an}是递增数列．(√)(2)数列{an}的前n项和为Sn＝n2－1，则其通项公式为an＝Sn－Sn－1＝2n－1.(×)(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(√)(4)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq(a≠0)．(√)(5)指数函数f(x)＝2x图象上一系列点的横坐标构成数列{xn}，对应的纵坐标构成数列{yn}．若数列{xn}是等差数列，则数列{yn}是等比数列．(√)(6)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是an＝.(×)1．数列1，，，，，…的一个通项公式是an＝__________.答案2．已知数列{an}的通项公式为an＝，若am＝3－2，则m＝________.答案8解析an＝＝＝－，∴am＝－＝3－2＝－.∴m＝8.3．(教材改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝____________.答案4．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若该等比数列的首项b1＝3，则bn＝________.答案3·n－1解析 a＝a7·a15，∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)，∴a1＝－d，∴an＝a1＋(n－1)d＝d，q＝＝＝，∴bn＝3·n－1.5．数列{an}的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成，则数列{an}的一个通项公式an＝________(n∈N*，n≤20)．答案解析由流程图，知a1＝0＋1＝1，a2＝a1＋2＝1＋2，a3＝a2＋3＝1＋2＋3，…，an＝an－1＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，题型一利用观察法求通项公式例1写出下列数列的一个通项公式：(1)2，，，，，…；(2)，，，，2，…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，….解(1)原数列可改写成1＋，2＋，3＋，4＋，….故其通项公式为an＝n＋.(2)这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有，，，，…，分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为an＝.(3)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1.故它可改写成1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1，…，所以原数列的通项公式为an＝n＋＋.思维升华(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．(2)由数列的前几项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5,0，－5,0,5，…的通项公式可为an＝[1－(－1)n]·(－1)(n∈N*)，也可为an＝5sin(n∈N*)．(3)已知数列的前几项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列，如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．(1)－1，，－，，…；(2)，3，，，3，…；(3)1－，－，－，－，…；(4)3,5,3,5，….解(1)不看符号，数列可看作自然数列的倒数，正负相间隔用(－1)的n次幂进行调整，∴通项公式an＝(－1)n·.(2)数列可化为，，，，，…，即，，，，，….每个根号内可看作3与2n－1的乘积．∴通项公式an＝＝.(3)数列的每项可看成两数之差，前一数是自然数的倒数，后一数为，∴通项公式an＝－.(4)数列中的奇数项为3，偶数项为5.∴通项公式an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4加1便是5,4减1便是3，而加1与减1也就是(－1)n.因此数列的通项公式还可以写成an＝＋(－1)n＝4＋(－1)n.题型二利...