专题限时集训(九)[第9讲数列的概念与表示、等差数列与等比数列](时间：45分钟)1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－1，那么数列{an－1}()A．是等差数列B．是等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列2．在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，则tan(a4＋a6)＝()A.B.C．1D．－13．已知数列{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3，a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．1104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意的正整数p，q都有ap＋q＝ap·aq，则a8的值为()A．256B．128C．64D．325．数列{an}中，an≠0，且满足an＝(n≥2)，则数列是()A．递增等差数列B．递增等比数列C．递减数列D．以上都不是6．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式＝(n≥2)给出，则a10等于()A.B.C．10D．97．已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负8．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝则a2012等于()A.B.C.D.9．观察下列等式1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第n个等式为__________________．10．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________．11．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0的四个根组成首项为的等差数列，则a＋b＝________．12．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．13．在数列{an}中，a1＝，点(an，an＋1)在直线y＝x＋上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.14．已知数列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，求bn的最大值．15．已知等差数列{an}的首项为正整数，公差为正偶数，且a5≥10，S15<255.(1)求通项an；(2)若数列a1，a3，ab1，ab2，ab3，…，abn，…成等比数列，试找出所有的n∈N*，使cn＝为正整数，说明你的理由．专题限时集训(九)【基础演练】1．B[解析]由an＋1＝2an－1得an＋1－1＝2(an－1)，而a1－1＝2≠0，所以＝2.故选B.2．A[解析]由等差数列的性质可知，a1＋a5＋a9＝3a5，a4＋a6＝2a5，所以a4＋a6＝(a1＋a5＋a9)＝×＝，所以tan(a4＋a6)＝tan＝.故选A.3．D[解析]因为a7是a3，a9的等比中项，所以a＝a3a9，又公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，所以通项公式an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以S10＝＝5(20＋2)＝110.4．A[解析]由ap＋q＝ap·aq，令p＝n，q＝1，则an＋1＝an·a1，即＝2，所以{an}是以2为公比的等比数列，首项为2，故a8＝2×27＝28＝256.【提升训练】5．A[解析]由已知an＝(n≥2)得＝＋，即－＝>0，所以数列是递增等差数列．故选A.6．B[解析]依题意＝(n≥2)，得a10＝a1···…·＝1×××…×＝.故选B.7．A[解析]f(0)＝0，a3＞0，f(a3)＞f(0)＝0，又a1＋a5＝2a3＞0，所以a1＞－a5即f(a1)＞f(－a5)，于是f(a1)＋f(a5)＞0.故选A.8．C[解析]当a1＝时，a2＝2×－1＝，a3＝2×－1＝，a4＝2×＝，a5＝2×＝.所以数列{an}的周期为4，而＝503，所以a2012＝a4＝.故选C.9．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]依题意，等式的第一项依次为1，2，3，…，由此知等式的第n项为n；最后一项为1，4，7，10，…，由此知最后一项为3n－2.于是，第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.故填n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.10.[解析]设等比数列{an}的公比为q，则由条件a3·a7＝a2·a8＝2，又a2＋a8＝3，且{an}是递增数列，知a2
0，解得a2＝1，a8＝2，所以q6＝2，故＝q3＝.11.[解析]设两个方程的根分别为x1、x4和x2、x3.因为x1＋x4＝x2＋x3＝1，所以x1＝，x4＝，从而x2＝，x3＝.则a＝x1x4＝，b＝x2x3＝，或a＝，b＝.于是a＋b＝＋＝.12．28[解析]依题意得，数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，...
