1．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是__________．解析：由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.答案：2．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线．在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．解析：根据直线与平面平行的性质和平面与平面平行的性质知①③满足条件，在条件②下，m，n可能平行，也可能异面．答案：①或③3．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是________．解析：①在正方体A1B1C1D1－ABCD中，平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD.平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，且CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，①错误．②因为a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确．④当直线a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α，④错误．答案：②③4.(2012·福州质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.证明：法一：如图，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连结EF，则EF⊂平面AA1B1B.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵＝，＝，∴＝＝.∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN为平行四边形，∴MN∥EF.又MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.法二：如图，连结并延长CN交BA的延长线于点P，连结B1P.则B1P⊂平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP，∴＝.又CM＝DN，B1C＝BD，∴＝＝.∴MN∥B1P.∵B1P⊂平面AA1B1B.MN⊄平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.法三：如图，作MP∥BB1，交BC于点P，连结NP.∵MP∥BB1，∴＝.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵＝，∴＝.∴NP∥CD∥AB.AB⊂平面ABB1A1，NP⊄平面ABB1A1.∴NP∥面AA1B1B.又MP∥BB1，BB1⊂平面ABB1A1，MP⊄平面ABB1A1.∴MP∥面AA1B1B，又NP∩MP＝P.∴面MNP∥面AA1B1B.∵MN⊂面MNP.∴MN∥面AA1B1B.5．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．(1)求证：BP⊥AC；(2)当点P落在什么位置时，AP∥平面SMC?(3)求三棱锥B－NMC的体积．解：(1)证明：连接BD，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵BP⊂平面SDB，∴AC⊥BP.(2)当P为SD的中点时，连接PN，则PN∥DC且PN＝DC.∵底面ABCD为正方形，∴AM∥DC且AM＝DC，∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN.又AP⊄平面SMC，∴AP∥平面SMC.(3)VB－NMC＝VN－MBC＝S△MBC·SD＝··BC·MB·SD＝×1×××2＝.
