第5讲第1页（共16页）内容备注数学建模课程教案讲课题目：第五讲微分方程模型目的要求：了解微分方程在数学建模中应用重点难点：微分方程模型在数学建模中的应用方法步骤：理论讲授器材保障：多媒体设备教学内容与时间安排:微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济、军事、生态、社会等各个领域有着广泛的应用。因此，如何对实际问题建立起微分方程就成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题，这就是微分方程的建模问题。这些问题常常是困难的，但也并非是“无章可循”，事实上运用微分方程解决实际问题，常有一定的模式。所谓模式就是问题所遵循的共性规律，或者分析实际问题时所采用的共同方法。建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。5.1微分方程的简单应用问题40分钟例1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度0v铅直向上发射一质量为m的物体，设地球引力与物体到地心的距离平方成反比，求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳系，则0v应为多少？模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计。随进度板书标题、提纲，内容、例题用PPT演示，建模过程讲解板书。时间分配随课堂情况调整第5讲第2页（共16页）设在t时刻物体上升的高度为)(tss（即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为2)(sRkF（0k）(5.1.1)其中k为比例系数。因为当物体在地面上时，mgFs,0，即2Rkmg故2mgRk所以22)(sRRmgF又物体在上升过程中满足Newton第二定律22dtsdmmaF所以2222)(dtsdmsRRmg整理得02222)0()0(,0)0()(vvsssRgRdtsd（5.1.2）此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。模型求解令vdtds则dsdvvdtdsdsdvdtdvdtsd?22以之代入（5.1.2）式，有22)(sRgRdsdvv分离变量得dssRgRvdv22)(积分得CsRgRv2221再代入初始条件0)0(,0)0(vvs，可得第5讲第3页（共16页）gRvC2021故gRvsRgRv20222121由于物体达到最大高度时，0v，所以由021202gRvsRgR解得物体的最大高度为2020max2vgRRvs（5.1.3）如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须s，由（5.1.3）式知，此时必有0220vgR，所以应取gRv20（5.1.4）将kmRsmg6370,/8.92代入（5.1.4）式，可得skmgRv/2.1120即0v应为第二宇宙速度。思考题：若有空气阻力，如何建立其数学模型。例2（液体的浓度稀释问题）在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均未装满），其浓度均为5g/L。现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合液输出。问时刻t乙桶盐水的浓度是多少？模型建立与求解设)(),(21tyty分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。先分析甲桶：任取一段时间ttt,，则该时段甲桶内盐的改变量为ttyttytty?2100)(2.0)()(111两边同除以t，并令0t，得初值问题500)0()(501111ytydtdy（5.1.5）第5讲第4页（共16页）这就是甲桶中盐含量的数学模型。对（5.1.5）式分离变量并积分，可得501500)(tety它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。现分析乙桶：同理在任意时间段ttt,内乙桶内盐的改变量为tttyttytytty??1)12(100)(2100)()()(2122－流入量－流出量两边同除以t，并令0t，得初值问题500)0()(1001)(5012212ytyttydtdy（5.1.6）这就是乙桶中盐含量的数学模型。将501500)(tety代入（3.1.6）并整理得500)0(10)(100125022yetytdtdyt（5.1.7）求解此一阶线性微分方程，得502)150(5001250001001)(tettty所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为)/()150(500125000)100(1100)(5022Lgettttyt例3（凶杀作案时间的推断问题）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为C030...
