(数学)2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案22017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题(每题8分,满分64分,将答案填在答题纸上)1.若数列na满足Nnaaaannn,232,2111,则2017a的值为.2.若函数baxxxxf221对于任意Rx都满足xfxf4,则xf的最小值是.3.在正三棱柱111CBAABC中,ED,分别是侧棱11,CCBB上的点,BDBCEC2,则截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小是.4.若13cos2coscos3sin2sinsinxxxxxx,则x.5.设yx,是实数,则9422244yxyx的最大值是.6.设,3,2,1,,,2121maaaSNnnammn,则201721,,,SSS中能被2整除但不能被4整除的数的个数是.7.在直角平面坐标系xOy中,21,FF分别是双曲线01222bbyx的左、右焦点,过点1F作圆122yx的切3线,与双曲线左、右两支分别交于点BA,,若ABBF2,则b的值是.8.从正1680边形的顶点中任取若干个,顺次相连成多边形,其中正多边形的个数为.二、解答题9.已知Ryx,,且yxyx,222,求2211yxyx的最小值.10.在平面直角坐标系xOy中,椭圆13:22yxC的上顶点为A,不经过点A的直线l与椭圆C交于QP,两点,且.0AQAP(1)直线l是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.(2)过QP,两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点B,求BPQ面积的取值范围.11.设函数.!1!2112nnxnxxxf(1)求证:当Nnx,,0时,xfenx;(2)设Nnx,0,若存在Ry使得ynnxexnxfe1!11,4求证:.0xy2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试1.已知圆O的内接五边形ABCDE中AD与BE相交于点CFF,的延长线交圆O于点P,且.EDBCCDAB求证:.AEOP2.设yx,是非负实数,22,yxbyxa,若ba,是两个不相邻的整数,求ba,的值,3.平面上n2个点Nnn,1,无三点共线,任意两点间连线段,将其中任意12n条线段染成红色.求证:三边都为红色的三角形至少有n个.4.设n为正整数,nnban131211,其中nnba,为互素的正整数,对素数p,令集合npapNnnS,,证明:对每一个素数5p,集合pS中至少有三个5元素.试卷答案1.302612.163.0454.Zkk,5.146.2527.138.3432二、解答题9.解:因为222yx,所以422yxyx,所以222222114111yxyxyxyxyxyx.111412当0,2yx时,.11122yxyx所以2211yxyx的最小值为.110.解:(1)因为0AQAP,所以.AQAP直线AQAP,与x轴平行时,P或Q与A重合,不合题意.设1:kxyPA,则.11:xkyQA将1kxy代入3322yx,得.063122kxxk所以2262,1.1313PPkxykk6同理.361,3622kykkxQQ所以,直线:PPQPQPyyxxlyyxx,即kxkkxkykyklQQ63163121312131:2222,化简得.2141:2xkkyl直线l纵截距是常数21,故直线l过定点.21,0(2)由(1),223116kkkAP,同理,.31622kkAQ所以222222222222222223313131363131136kkkkkkkkkkPQ.3103115151362242462kkkkkk不妨设0k,令kkt1,则2t,可化得22222431236tttPQ,即.4312622tttPQ设00,yxB,则切点弦PQ的方程是3300yyxx,又QP,在2141:2xkkyl上,所以20y,从而.21320kkx所以B到PQ的距离.122316121213222222ttkkkkd7因此的面积.43294312612232121232222tttttttPQdS令tu1,则210u,化得.34293uuS当210u时,uu343递增,所以23403uu,即49S,当且仅当21u,即1,2kt时,等号成立,故BPQ的面积S的取值范围是.,4911.解:(1)用数学归纳法证明如下:(ⅰ)当1n时,令11xexfexfxx,则,0,01xexfx恒成立,所以xf在区间,0为增函数,又因为00f,所以0xf,即.1xfex(ⅱ)假设kn时,命题成立,即当,0x时,xfekx,则1kn时,令121!11!1!211kkxkxxkxkxxexfexg,则0!1!2112xfexkxxexgkxkx,所以xg在区间,0为增函数,又因为00g,所以,0,0xxg恒成立,即8,0,1xxfekx,所以1kn时,命题成立.由(ⅰ)(ⅱ)及归纳假设可知,Nn,当,0x时,.xfenx(2)由(1)可知xfenx1,即11!11!11nnynnxnxfexnxf,所以1ye,即0y,下证:.xy下面先用数学归纳法证明:当.,!1!11!211,012Nnexnxnxxexxnnx(ⅰ)当1n时,令xxexexF1,则,0,0xxexFx,所以xF在区间,0单调增,又00F,故0xF,即.1xxxee(ⅱ)假设kn时,命题成立,即当,0x时,.!1!11!21112kkkxexkxkxxe则当1kn时,令xxkkeexkxkxxxG12!11!1!211,0!11!11!1!211112xkxxkxkexkeexkexkxxxG,所以xG在区间,0上为增函数,又00G,故0xG,即,0,!11!1!21112xexkxkxxexkkx.9由(ⅰ)(ⅱ)及归...