第二十四章24.4.1弧长和扇形面积知识点1：弧长公式半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l=.关键提醒:(1)对于弧长公式关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即,亦即;(2)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径,知道其中的任何两个量就可以求出第三个量.知识点2：扇形面积公式扇形的定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.扇形面积公式:半径为R,圆心角为n°的扇形面积S扇形=(若已知或已求出了扇形对应的弧长l,则扇形面积公式也可以写成S扇形=lR).关键提醒:(1)对于扇形面积公式关键是要理解1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)扇形面积公式所涉及的三个量:扇形面积、扇形半径、圆心角的度数,知道其中的任何两个量就可以求出第三个量;(3)对于扇形面积公式S扇形=lR,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式S=ah有点类似,用类比的方法记忆会更好;(4)注意扇形面积的两个公式之间的联系:S扇形==··R=lR,无论利用哪个公式计算扇形面积,R都必须已知.知识点3：弓形的认识弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形,利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积.弓形有如下三种情况:(1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差,即S弓形=S扇形-S△OAB;(2)当弓形的弧大于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和,即S弓形=S扇形+S△OAB;(3)当弓形的弧是半圆时,弓形的面积是圆面积的一半,即S弓形=S圆.也就是说:要计算弓形的面积,首先要观察它的弧属于半圆、劣弧还是优弧,只有对它分析正确才能保证计算结果的正确.阴影部分常常是基本图形的组合,解题时要认真分析图形,找出组合方式,这是解决这类问题的关键.考点1：弧长公式的运用【例1】挂钟分针的长为250px,经过45分钟,它的针尖转过的弧长是().A.cmB.15πcmC.cmD.75πcm答案:B.点拨:本题已知弧所在圆的半径为250px,又知分针45分钟转过270°,所以针尖转过的弧长是l==15π(cm).考点2：圆中图形面积的计算【例2】如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,连接AC、BD.(1)求证:AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是πcm2,OA=50px,求OC的长.解:(1)因为∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD所以∠AOC=∠BOD.又因为AO=BO,CO=DO,所以△AOC≌△BOD,所以AC=BD.(2)根据题意得S阴影=-=,即π=.解得OC=1(cm).点拨:由△AOC≌△BOD可知图中阴影部分面积是扇环形面积,即π=,解得OC=1.考点3：弧长公式和扇形面积在实际生活中的应用【例3】在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置如图所示:滑轮的半径是250px,当她将一重物向上提升375px时,滑轮的半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度是(假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14,结果精确到1°).答案:86°.点拨:在绳索与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动,当轮子的点A转到点A1位置时,绳子上的某一点也就从点A被带到点A1,绳子被带动上升375px,也就是长度为375px,所以本题所考查的数学知识可以等价“圆中的计算问题”:已知,如图☉O的半径为250px,长为375px.求∠A1OA的度数.设OA绕圆心O按逆时针方向旋转n°,则15=,解得n≈86.
