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【黄冈竞赛零距离】七年级数学 9 二元一次方程的整数解培优和竞赛二合一讲炼教程 人教新课标版VIP免费

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(9)二元一次方程的整数解【知识精读】1,二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果(a,b)|c则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解。返过来也成立,方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解,∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。2,二元一次方程整数解的求法:若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解解:x==(1),设是整数),则y=1-5k(2),把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是(k是整数)方法二,公式法:设ax+by=c有整数解则通解是(x0,y0可用观察法)3,求二元一次方程的正整数解:①出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值②用观察法直接写出。【分类解析】例1求方程5x-9y=18整数解的能通解解x=设(k为整数),y=3-5k,代入得x=9-9k∴原方程整数解是(k为整数)又解:当x=o时,y=-2,∴方程有一个整数解它的通解是(k为整数)从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例2,求方程5x+6y=100的正整数解解:x=(1),设(k为整数),则y=5k,(2)把(2)代入(1)得x=20-6k,∵解不等式组得0<k<,k的整数解是1,2,3,∴正整数解是例3,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本?解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得3x+5y=38(x,y都是正整数)∵x=1时,y=7,∴是一个整数解∴通解是(k为整数)解不等式组得解集是∴整数k=0,1,2把k=0,1,2代入通解,得原方程所有的正整数解答:甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。【实战模拟】,1,求下列方程的整数解①公式法:x+7y=4,5x-11y=3②整除法:3x+10y=1,11x+3y=42,求方程的正整数解:①5x+7y=87,②5x+3y=1103,一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材?4,兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。5,下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号)①4x+2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.6,一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分?7.用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:y=14-2x=练习91.公式法①由特解得通解(k为整数)②由特解得通解(为k整数)整除法①∵x==-3y,……∴通解是(k为整数)②通解是(k为整数)2.①②-……3.有6种截法4.16,135.A,D.6.127.(略)

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