9.8曲线与方程一、选择题1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足PA·PB＝，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线解析设点P(x，y)，则PA＝(1－x,1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)，所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．答案B2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()．A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.答案D3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，即②代入①式整理可得x2＋＝1.答案C4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案D5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是()A．x2－y2＝9(x≥0)B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)C．y2－x2＝9(y≥0)D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．答案B6．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4)解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案C7．|y|－1＝表示的曲线是()．A．抛物线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析原方程等价于⇔⇔或答案D二、填空题8.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为。答案9．在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析由正弦定理：－＝×，∴|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．答案－＝1(x>0且y≠0)10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．解析设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案＋＝1(y≠0)11．已知P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是______________．解析由OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.答案＋＝112.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________．解析①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a2；③三角形的面积S△F1F2P2≤，很显然S△F1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正确．答案②③三、解答题13.如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动...
