中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数VIP专享VIP免费

中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数智康·刘豪【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。第一部分真题精讲【例1】2010，西城，一模已知：关于的方程．⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数的图象关于轴对称．①求二次函数的解析式；②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）∴当，原方程有实数根.当时，原方程为关于的一元二次方程， .∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.（2）① 关于的二次函数的图象关于轴对称，∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）∴.∴抛物线的解析式为.② ，（判断大小直接做差）∴（当且仅当时，等号成立）.（3）由②知，当时，.∴、的图象都经过.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） 对于的同一个值，，∴的图象必经过.又 经过，∴.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设. 对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，∴，图7-1-2-3-3-2-1-4-5-621123∴.又根据、的图象可得，∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）∴.∴.而.只有，解得.∴抛物线的解析式为.【例2】2010，门头沟，一模关于的一元二次方程.（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得解得解得当且时，方程有两个不相等的实数根.（2）由题意得解得（舍）(始终牢记二次项系数不为0)（3）抛物线的对称轴是由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)与抛物线有且只有一个交点(这种情况考...