24分大题抢分练(一)(建议用时：30分钟)20．(12分)(2020·张家口模拟)已知函数f＝lnx＋ax2－bx.(1)若函数y＝f在x＝2处取得极值ln2－，求a，b的值；(2)当a＝－时，函数g＝f＋bx＋b在区间上的最小值为1，求y＝g在该区间上的最大值．[解](1)f′＝＋2ax－b，由已知得⇒，∴f′＝－＝，当f′(x)>0⇒02，∴f在上递增，上递减，满足在x＝2处取到极值，∴满足条件．(2)当a＝－时，g＝lnx－x2＋b，g′＝－＝，x∈时，g′>0；x∈时，g′<0，∴g在[1,2]上递增，在[2,3]上递减，∴gmax＝g＝ln2－＋b，又g＝－＋b，g＝ln3－＋b，g－g＝ln3－1>0，∴gmin＝g＝－＋b＝1，∴b＝，∴g＝ln2＋，∴函数g在区间[1,3]上的最大值为g＝ln2＋.21．(12分)(2020·襄阳4月线上联考)已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F的弦AB满足|AF|＋|BF|＝|AF|·|BF|.”那么对于椭圆E，问是否存在实数λ，使得＋＝λ·成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)根据椭圆的定义，可得＋＝2a，＋＝2a，∴△AF1B的周长为＋＋|AB|＝＋＋＋＝4a，∴4a＝4，a＝，∴椭圆E的方程为＋＝1，将P代入得b2＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)可知c2＝a2－b2＝1，得F2(1,0)，依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x＝my＋1，由消去x，整理得y2＋4my－4＝0，设A，B，则y1＋y2＝，y1y2＝，不妨设y1>0，y2<0，＝＝＝·＝·y1，同理＝·＝－·y2，所以＋＝＋＝＝·＝·＝·＝·＝，即＋＝·，所以存在实数λ＝，使得＋＝λ·成立.
