专题能力训练17直线与圆锥曲线专题能力训练第40页一、能力突破训练1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案:A解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得12|OE||FM|=|OB||BF|,即ka2k(a-c)=aa+c,整理,得ca=13,故椭圆的离心率e=13,故选A.2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A.√510B.√55C.2√55D.4√55答案:B解析:抛物线x2=4y的焦点为(0,1),双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,所以ba=√c2-a2a2=√e2-1=2,双曲线的渐近线为y=±bax=±2x,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是1√1+4=√55.故选B.3.如果与抛物线y2=8x相切且倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2√2C.2D.√2答案:C解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2.而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2√(√2)2-12=2.4.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.4答案:B解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±√33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=√3,所以|MN|=3.5.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:32解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax.由{y=bax,x2=2py,得A(2bpa,2b2pa2).由{y=-bax,x2=2py,得B(-2bpa,2b2pa2). F(0,p2)为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·(-ba)=-1,解得b2a2=54,∴c2a2=94,即可得e=32.6.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(1)解由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为(1,√22)或(1,-√22).所以AM的方程为y=-√22x+√2或y=√22x-√2.(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<√2,x2<√2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).将y=k(x-1)代入x22+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.7.如图,已知抛物线x2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)-12b>0)的离心率为√32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定...
