专题限时集训(三)平面向量建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)CDA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．(2016·河北联考)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB．AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋ADB因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.]3．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°A因为BA＝，BC＝，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]4．(2016·武汉模拟)将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝()A.B.C.D.A由题意可得OB的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则OB＝，故选A.]5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()【导学号：85952018】A．－B．C.D．3C由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB|＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝×cos30°＝，故选C.]二、填空题6．在如图32所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．图32设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴则的值为.]7．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________． AP⊥BC，∴AP·BC＝0，∴(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0. 向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，∴(λ－1)×3×2×cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]8．(2016·湖北七州联考)已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.－ △ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO2＝1×1×cos60°－×1×cos30°－×1×cos30°＋2＝－.]三、解答题9．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解](1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.4分又x∈，从而sinx＝，所以x＝.6分(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，9分当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.12分10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解](1)由BA·BC＝2得cacosB＝2.1分因为cosB＝，所以ac＝6.2分由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.4分因为a>c，所以a＝3，c＝2.6分(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，7分由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.8分因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.10分于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.12分B组名校冲刺]一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1∞，＋)C．(1，]D．(－1,0)B由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(01，即λ＋μ的取值范围是(1∞，＋)，故选B.]2．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－B n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|...
