导数-极值-最值问题VIP专享VIP免费

word格式-可编辑-感谢下载支持导数在研究函数中的应用知识梳理一函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：''一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，'则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数；'2、对于可导函数yf(x)来说，f(x)0是f(x)在某个区间上为增函数的充分非必要条件，f'(x)0是f(x)在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．二函数极大值、极小值1、极大值：如果xc是函数f(x)在某个开区间(u,v)上的最大值点，即不等式f(c)f(x)对一切x(u,v)成立，就说函数f(x)在xc处取到极大值f(c)，并称c为函数f(x)的一个极大值点，''f(c)为f(x)的一个极大值。2、极小值：如果xc是函数f(x)在某个开区间(u,v)上的最小值点，即不等式f(c)f(x)对一切x(u,v)成立，就说函数f(x)在xc处取到极小值f(c)，并称c为函数f(x)的一个极小值点，f(c)为f(x)的一个极小值。3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若f(c)0，则xc叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若x0满足f(c)0，且在c的两侧f(x)的导数异号，则c是f(x)的极值点，f(c)是极值，并且如果f(x)在c两侧满足“左正右负”，则c是f(x)的极大值点，word格式-可编辑-感谢下载支持f(c)是极大值；如果f(x)在c两侧满足“左负右正”，则c是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值三函数的最大值和最小值在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。求闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的思想方法和步骤：（1）求函数ƒ(x)在(a，b)内的极值；（2）求函数ƒ(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；（3）将函数ƒ(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函数yaxbxcxd(a0)有极值导函数f(x)3ax2bxc的判别式3224b212ac>03.3.1利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一求函数的单调区间例1已知函数y=x+1，试讨论出此函数的单调区间.x分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断211x1(x1)(x1)解答：y′=(x+)′=1－2=2xx2xxword格式-可编辑-感谢下载支持令(x1)(x1)＞0.解得x＞1或x＜－1.2x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).x∴y=x+(x1)(x1)令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.x21的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x∴y=x+点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f(x)的导数f′(x).，然后解不等式f′(x)＞0，得递增区间，解不等式f′(x)＜0，得递减区间.题型二已知函数的单调性，求参数的取值范围例2.若函数f(x)1312xax(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)上为增函数，试32求实数a的取值范围．分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．解答：函数求导得f(x)xaxa1(x1)[x(a1)]，令f(x)0得x1或xa1，因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x(1,4)时，f(x)0又因为在函数区间(6,)上为增函数，所以当x(6,)时，f(x)...