高中数学双曲线的方程和性质VIP专享VIP免费

第10讲双曲线的方程和性质[玩前必备]1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程x2y2(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．aby2x2(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．ab在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.3．双曲线的几何性质标准方程范围对称性焦点顶点轴焦距ce＝＝ax2y2－＝1(a＞0，b＞0)a2b2|x|≥a，y∈Ry2x2－＝1(a＞0，b＞0)a2b2|y|≥a，x∈R对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点F1(－c,0)，F2(c,0)A1(－a,0)，A2(a,0)F1(0，－c)，F2(0，c)A1(0，－a)，A2(0，a)线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b|F1F2|＝2ce是表示双曲线开b21＋2∈(1，＋∞)a离心率口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线a，b，c的关系[常用结论]2b21．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．ax2y2x2y22．与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为2－2＝t(t≠0)．abab3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.[玩转典例]题型一双曲线的定义例1平面内，一个动点P，两个定点F1，F2，若PF则动点P的轨迹为（）1PF2为大于零的常数，A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线by＝±xaa2＝c2－b2ay＝±xb例2一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆C．双曲线的一支B．椭圆D．抛物线x2y2例3方程1,(kR)表示双曲线的充分不必要条件是（）k2k2A．k2或k2B．k1C．k3D．k1或k1x2y2例4已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为412________．[玩转跟踪]1．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是()x2y2A.－＝1(x＞2)421x2y2C.－＝1214y2x2B.－＝1(y＞2)421y2x2D.－＝142x2y22．双曲线1的左右焦点分别为F1，F2，点在P双曲线上，若PF15，则PF2（）412A．1B．9C．1或9D．7x2y23.若曲线1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）m1mA．m1B．m0C．1m02D．1m12题型二焦点三角形问题x2y2例5（1）已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且AB4，F2m7为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为（）A．8B．92C．16D．20y2(2)设F1、F2分别是双曲线x1的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且3PF14PF2，则PF1F23的面积等于A．53B．210C．45D．315x2y2例6已知点P是双曲线1上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，若△F1PF2的外接圆半径84为4，且F1PF2为锐角，则PF1PF2（）A．15[玩转跟踪]1．已知F1,F2是双曲线x2y2m(m0)的两个焦点，点P为该双曲线上一点，若PF1PF2，且B．16C．18D．20PF1PF223，则m（）A．1B．2C．3D．3x2y22．已知双曲线C:1的左右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2||F1F2|,则△PF1F2916的面积等于A．24B．36C．48D．963.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.题型三双曲线的标准方程x2y23例7（1）已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线Cab4的标准方程为()x2y2A.－＝1916x2y2C.－＝134x2y2B.－＝1169x2y2D.－＝143x22（2）(一题多解)与椭圆＋y＝1共焦点且过点P(2,...