课时提升作业(三十一)弧长和扇形面积(第1课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图所示,实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为()A.12πmB.18πmC.20πmD.24πm【解析】选D.此游泳池的周长为两段相等的弧长,弧的半径为9m,每段弧的圆心角为240°,所以游泳池的周长为2×=24π(m).2.(2013·资阳中考)钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是()A.πB.πC.πD.π【解析】选A.钟面上的分针的长为1,即R=1;从9点到9点30分,分针在钟面上绕着轴心旋转了180°,即n=180.所以S扇形===.3.(2013·荆州中考)如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′,点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.π【解析】选A.∵∠BAC=60°,AC=1,∴AB=2AC=2.由题意可知,图中阴影部分的面积=扇形ABB′的面积+△AB′C′的面积-△ABC的面积,又△AB′C′的面积=△ABC的面积,所以阴影部分的面积=扇形ABB′的面积==.【方法技巧】求阴影部分的面积(1)若是规则图形,可用公式面积直接求解.(2)若是不规则图形,则需观察阴影部分是怎样形成的,然后再运用割补法、拼接法、等积法等去解决.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·遂宁中考)如图,△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置,且点A′,C′仍落在格点上,则图中阴影部分的面积约是(π≈3.14,结果精确到0.1).【解析】依题意得扇形的半径==,圆心角∠ABA′=90°,∴图中阴影部分的面积=扇形的面积-直角三角形的面积=-×2×3=π×13-3≈×3.14×13-3=10.205-3≈7.2.答案:7.2【变式训练】(2013·汕头中考)如图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是(结果保留π).【解析】根据题意可知,∠1=∠2,于是图中阴影部分的面积可化为扇形AOB和扇形DCE的和,由正方形的性质,可知∠AOB=45°,∠DCE=90°,结合扇形面积计算公式得阴影部分的面积=+=π.答案:π5.(2013·扬州中考)如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,半径OA=18,将扇形OAB沿着过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的长为.【解析】如图,连接OD.由折叠可得OB=DB=OD,∴△ODB是等边三角形,从而∠DOB=60°.∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°,因此的长为=5π.答案:5π6.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是(结果保留π).【解析】连接BD,因为四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,所以BD=BC=2,由题意得∠DBG=∠CBH,∠GDB=∠C,所以△DGB≌△CHB,则四边形GBHD的面积等于△DBC的面积,S阴=S扇形EBF-S△DBC=-×2×=-.答案:-三、解答题(共26分)7.(8分)一个扇形的弧长为10πcm,面积是120πcm2,求扇形的圆心角的度数.【解析】设扇形的圆心角为n度,半径为R,则解方程组得即扇形的圆心角为75°.8.(8分)如图所示,等腰直角三角形ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D,E.求图中阴影部分的面积.【解析】连接OE.∵☉O与BC相切于点E,∴∠OEB=90°.∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=BC且AC2+BC2=AB2=42=16.∴AC=BC=2.∵∠C=90°,∴OE∥AC.又∵OA=OB,∴CE=EB.∴OE=EB=AC=.∴S△OEB=·OE·EB=××=1,S扇形OEF==.∴S阴影=2(S△OEB-S扇形OEF)=2-.【培优训练】9.(10分)如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.K](1)求点A经过的路线长是多少?(2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少?(计算结果不取近似值)【解析】(1)∵∠A=30°,∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=,∴∠ABA′=120°,∴==π,==π,∴点A经过的路线长为π+π=π.(2)S扇形BAA′=××2=,S扇形C′A′A″=××=,S△A′BC′=×1×=,§X§K]∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π+π+=+.
