8．3简单几何体的表面积与体积新课程标准新学法解读1.求表面积问题，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状和数量关系，尤其是侧面展开图与原知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.几何体的关系．2.求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面和面上高的是否易求．3.关于球的体积和表面积问题，抓住球心，确定球的半径是解题关键.8．3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积[思考发现]1．棱长为3的正方体的表面积为()A．27C．54B．64D．36解析：选C根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.故选C.2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．486C．16B．64D．96解析：选B设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.3．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为()A．4C．23B.34D.33，所以此三棱锥的表面积为4解析：选D三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为4×3＝3.故选D.44．已知棱台的上、下底面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________．1解析：由棱台的体积公式可求得其体积为V＝(4＋4×16＋16)×3＝28.31答案：28[系统归纳]1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系11S′＝SS′＝0V＝Sh――→V＝(S′＋S′S＋S)h――→V＝Sh.33(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．[例1]现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积[解]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. 该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝AC2＋BD2＝a＋b＝200＋56＝64，224422∴AB＝8.2∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．(2)求出其底面的面积．(3)求和得到表面积．注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．[变式训练]已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．解析：如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，1在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，2故B1F＝82－22＝215，1所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×215＝1215，2故四棱台的侧面积S侧＝4×1215＝4815，所以S表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815.答案：80＋4815[例2](1)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________．棱柱、棱锥、棱台的体积第(1)题图第(2)题图(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCDA′B′C′D′，上面部分为正四棱锥SABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．3(3)(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.111[解析](1)VADED1＝VEDD1A＝××1×1×1＝.3261(2)V正方体＝23＝8，VSABCD＝×22×(5－2)＝4.3V＝V正方体＋VSABCD＝12.(3)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，11故V挖去的四棱锥＝××...
