提技能·题组训练圆周角定理及其推论1.(2013·滨州中考)如图,在☉O中,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的大小为()A.156°B.78°C.39°D.12°【解析】选C.∠BOC是所对的圆心角,∠BAC是所对的圆周角,∴∠BAC=∠BOC=39°.2.(2013·海南中考)如图,在☉O中,弦BC=1,点A是圆上一点,且∠BAC=30°,则☉O的半径是()A.1B.2C.D.【解析】选A.方法一:连接OB,OC.∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=OC=BC=1.方法二:作直径CD,连接BD.则∠CBD=90°,∵∠BDC=∠BAC=30°,∴CD=2BC=2,∴OC=CD=1.3.(2013·长春中考)如图,△ABC内接于☉O,∠ABC=71°,∠CAB=53°,点D在上,则∠ADB的大小为()A.45°B.53°C.56°D.71°【解析】选C.在△ABC中,∵∠ABC=71°,∠CAB=53°,∴∠C=180°-71°-53°=56°,∴∠ADB=∠C=56°.4.(2013·佛山中考)图中圆心角∠AOB=30°,弦CA∥OB,延长CO与圆交于点D,则∠BOD=.【解析】因为圆心角∠AOB=30°,弦CA∥OB,所以∠AOB=∠CAO=30°,又OA=OC,所以∠CAO=∠ACO=30°,所以∠AOD=∠CAO+∠ACO=60°=∠AOB+∠BOD,所以∠BOD=30°.答案:30°5.(2013·贵阳中考)如图,AD,AC分别为☉O的直径和弦,∠CAD=30°,B是AC上一点,BO⊥AD,垂足为O,BO=5cm,则CD等于cm.【解析】在Rt△AOB中,∠A=30°,BO=5cm,∴AO=5cm,∵AD是直径,∴AD=10cm,∠C=90°,在Rt△ADC中,∠A=30°,AD=10cm,∴CD=5cm.答案:56.如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC上的一点,则∠BPC=.【解析】连接BD,则BD是直径,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.答案:45°【知识归纳】圆周角与直径1.当题目中出现了直径时,常作辅助线,利用直径所对的圆周角是直角解决问题.2.当出现90°的圆周角时,常连接该圆周角所对的弦,则该弦为直径.7.如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.(1)求∠B的大小.(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离.【解析】(1)∵∠APD=∠C+∠CAB,∴∠C=65°-40°=25°.∴∠B=∠C=25°.(2)过点O作OE⊥BD于E,则DE=BE.又∵AO=BO,∴OE=AD=×6=3.∴圆心O到BD的距离为3.圆内接四边形1.如图,四边形ABCD内接于☉O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是()A.115°B.130°C.65°D.50°【解析】选A.∵∠BOD=130°,∴∠A=∠BOD=65°,∵∠BCD+∠A=180°,∴∠BCD=115°.2.(2013·莱芜中考)如图,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为()A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°【解析】选D.如图,作所对的圆周角.∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=22.5°.∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-22.5°-22.5°=135°.∴∠D=∠AOB=×135°=67.5°.X,K]∵四边形ACBD是圆内接四边形,∴∠C+∠D=180°.∴∠C=112.5°.【方法技巧】1.在圆中,求角的度数时,常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成.2.有时需要自己作出与已知角互补的圆周角,才能运用圆内接四边形的性质.3.四边形ABCD内接于☉O,AD∥BC,∠B=75°,则∠C=.【解析】∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠A=180°-75°=105°,又∵∠A+∠C=180°,∴∠C=75°.答案:75°【变式训练】已知,四边形ABCD内接于☉O,且∠A∶∠C=1∶2,则∠BOD=°.【解析】∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠C=1∶2,得∠A=60°.∴∠BOD=2∠A=120°.答案:1204.如图,△ABC内接于☉O,AD为△ABC的外角平分线,交☉O于点D,连接BD,CD,判断△DBC的形状,并说明理由.【解析】△DBC为等腰三角形.理由如下:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠DCB+∠DAB=180°,又∠EAD+∠DAB=180°,∴∠EAD=∠DCB.又∠DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB,∴DB=DC,即△DBC为等腰三角形.【错在哪？】作业错例课堂实拍A,B为☉O上的两点,∠AOB=100°,若点C也在☉O上,且点C不与A,B重合,求∠ACB的度数.(1)错因:____________________________________.(2)纠错:_____________________________________________________________________________________________.答案：(1)点C也可能在劣弧上，需要分情况讨论(2)当C在优弧上时，∠ACB=∠AOB=50°，当C在劣弧上时，∠ACB=180°-50°=130°
