（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十三选考部分第1讲几何证明选讲专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1．如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而＝，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于点A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论知，AC＝AE.2.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.3.如图，圆O的直径AB＝d，P是AB延长线上一点，BP＝a，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.(1)求证：∠PEC＝∠PDF；(2)求PE·PF的值．解：(1)证明：连接BC，易知∠ACB＝∠APE＝90°，即P，B，C，E四点共圆．所以∠PEC＝∠CBA.又A，B，C，D四点共圆，所以∠CBA＝∠PDF.所以∠PEC＝∠PDF.(2)由(1)，知∠PEC＝∠PDF，所以F，E，C，D四点共圆．所以PE·PF＝PC·PD＝PB·PA＝a(a＋d)．4.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)∵OA＝OM，∴OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，即＝，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.5．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．解：(1)证明：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，即有＝，而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分线，所以AD＝DE，从而BE＝2AD.(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，解得t＝或t＝－2(舍去)，所以AD＝.6．如图，BA是⊙O的直径，延长BA至E，使得AE＝AO，过E点作⊙O的割线交⊙O于D、C，使得AD＝DC.(1)求证：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长．解：(1)证明：连接AC，因为OD是⊙O的半径，AD＝DC，所以OD⊥AC，又因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，所以OD∥BC.(2)由(1)及EA＝AO，ED＝2，知＝＝＝，所以EC＝3.因为ED·EC＝EA·EB＝3EA2，所以3EA2＝2×3，即EA＝.因为CD＝EC－ED＝1，BC＝OD＝EA＝，所以四边形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋BA＝2＋.
