分层限时跟踪练(五十九)(限时40分钟)一、选择题1．(2015·山东高考)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i【解析】由已知得＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i，故选A.【答案】A2．给出下列命题，其中正确的命题是()A．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数B．当a≠0时，b≠0时，a＋bi一定是虚数C．若z∈R，则z·＝|z|不成立D.的虚部为－1【解析】当z是一个复数时，若z2能够与实数比较大小，则z2是一个实数，则z一定是一个纯虚数，故A正确；当a是不为0的实数，b为纯虚数时，a＋bi为实数，故B不正确；当z＝1时，选项C不正确，＝＝＝2＋i，其虚部为1.故D不正确．故选A.【答案】A3．(2015·东北二模)i为虚数单位，复数z＝i2012＋i2015在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】i2012＝i503×4＝1，i2015＝i503×4＋3＝－i，∴复数z＝1－i在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．【答案】D4．已知f(x)＝x3－1，则复数的虚部为()A.B．－C.D．－【解析】 f(i)＝i3－1＝－i－1，∴＝＝＝，其虚部为－.【答案】D5．(2015·南昌二模)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝()A.B．2C.D．1【解析】 z＝－1－i，∴＝－1＋i，∴(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，∴|(1－z)·|＝|－3＋i|＝.【答案】A二、填空题6．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．【解析】由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.【答案】－27．在复平面内复数，对应的点分别为M、N，若点P为线段MN的中点，则点P对应的复数是________．【解析】 ＝，＝，∴M，N，而P是MN的中点，∴P，故点P对应的复数为.【答案】8．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.【解析】 |a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.【答案】3三、解答题9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【解】 (z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. z1·z2∈R.∴a＝4，∴z2＝4＋2i.10．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解】如图，z1、z2、z3分别对应点A、B、C. AB＝OB－OA，∴AB所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，在正方形ABCD中，DC＝AB，∴DC所对应的复数为－3－i，又DC＝OC－OD，∴OD＝OC－DC所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，∴第四个顶点对应的复数为2－i.1．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题；B，z1＝2⇒1＝2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·1＝z2·2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．【答案】D2．(2015·河南调研)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是()A．[－1,1]B.C.D.【解析】由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.【答案】C3．(2015·江苏高考)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为______．【解析】 z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5，∴|z|＝.【答案】4．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为______．【解析】 |z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.【答案】5．复数z1＝＋(a2－10)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．【解】1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i. 1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a...
