高考数学一轮复习 第五章 数列 分层限时跟踪练27-人教版高三数学试题VIP免费

分层限时跟踪练(二十七)(限时40分钟)一、选择题1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)“，则λ＜1”“是数列{an}为递增数”列的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜.由λ＜1可推得λ＜，但反过来，由λ＜不能得到λ＜1“，因此λ＜1”“是数列{an}”为递增数列的充分不必要条件，故选A.【答案】A2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1【解析】当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.【答案】A3．(2015·大庆模拟)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝()A．2n－1B．2n－1＋1C．2n－1D．2(n－1)【解析】法一由an＋1＝2an＋1，可得a2＝3，a3＝7，a4＝15…，，验证可知an＝2n－1(n∈N*)．法二由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1(n∈N*)．【答案】A4．(2015·昆明模拟)数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4【解析】依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.【答案】D5．(2015·福州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2014＝()A．1B．0C．2014D．－2014【解析】 a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0…，，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2014＝a2＝0，选B.【答案】B二、填空题6．(2015·大连模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝.【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝【答案】7．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3…，)，则它的通项公式an＝.【解析】 (n＋1)a＋an＋1·an－na＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝.【答案】8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1≤，则满足2的正整数n的集合为．【解析】因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1.所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，a2＝2＝2a1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.≤而2，即2n－1≤2n.∴n＝1,2,3,4.∴正整数n的集合为{1,2,3,4}．【答案】{1,2,3,4}三、解答题9．已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明现由．【解】an＋1－an＝－＝·，当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.则a1＜a2＜a3…＜＜a8＝a9＞a10＞a11…＞，故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝＝.10．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)当n＝1时，T1＝2S1－1, T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1，因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2(n∈N*)．1．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，n∈N*)，则a17＝()A．1B．2C.D．2－987【解析】由已知，得a1＝1，a2＝2，...