专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(2019河南开封一模,文21)设函数f(x)=(x-1)ex-k2x2(其中k∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)略.2.(2019湖北八校联考二,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx.(1)函数f(x)在(1,f(1))点的切线l方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;(2)略.3.(2019山东淄博一模,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)略.4.(2019江西九江一模,文21)已知函数f(x)=x2-(2a-1)x-alnx(a∈R).(1)试讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)存在最小值f(x)min,求证:f(x)min<34.5.(2019湖北八校联考一,文21)已知函数f(x)=x3+32x2-4ax+1(a∈R).(1)若函数f(x)有两个极值点,且都小于0,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=a(a-1)lnx-x3+3x+f(x),求函数h(x)的单调区间.6.已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(3)已知1.4142<❑√2<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).7.(2019安徽江淮十校联考一,文21)已知函数f(x)=ax2+xlnx(a为常数,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.71828…).(1)若函数f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2e+2)x-e2-e,k∈Z且k
1都成立,求k的最大值.参考答案专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k).①当k≤0时,令f'(x)>0,解得x>0.∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是[0,+∞);②当00,解得x0.∴f(x)在(-∞,lnk)和(0,+∞)上单调递增,在[lnk,0]上单调递减.③当k=1时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.④当k>1时,令f'(x)>0,解得x<0或x>lnk,故f(x)在(-∞,0)和(lnk,+∞)上单调递增,在[0,lnk]上单调递减.2.解(1)函数f(x)=lnx+ax2+bx的导数为f'(x)=1x+2ax+b,在(1,f(1))点的切线斜率为k=1+2a+b,由题意可得1+2a+b=-2,且a+b=-2,可得a=b=-1,f(x)=lnx-x2-x的导数为f'(x)=1x-2x-1=-2x2-x+1x=-2x2+x-1x.由f'(x)=0,可得x=12(-1舍去),当00,f(x)递增;当x>12时,f'(x)<0,f(x)递减,可得x=12处,f(x)取得极大值,且为最大值-ln2-34.3.解(1)f'(x)=-(ax+1)(x-2)ex.①当a>0时,f'(x)=-a(x+1a)(x-2)ex.令f'(x)=0,解得x1=-1a,x2=2,且x10.所以f(x)的单调递增区间是-1a,2,单调递减区间是-∞,-1a和(2,+∞).②当a=0时,f'(x)=-x-2ex,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,2),单调递减区间是(2,+∞).③当-120;当x∈2,-1a时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,2)和-1a,+∞,单调递减区间是2,-1a.④当a=-12时,f'(x)=(x-2)22ex≥0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).⑤当a<-12时,令f'(x)=0,解得x1=-1a,x2=2,且x10;当x∈-1a,2时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递减区间是-1a,2,单调递增区间是-∞,-1a和(2,+∞).4.解(1)f'(x)=(2x+1)(x-a)x,①当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)恒成立,故f(x)在(0,+∞)递增,②当a>0时,由f'(x)>0,解得x>a;由f'(x)<0,解得00且f(x)min=f(a)=a-a2-alna.令g(x)=x-x2-xlnx(x>0),则g'(x)=-2x-lnx在(0,+∞)内递减.又g'1e=1-2e>0,g'12=ln2-1<0,∴存在x0∈1e,12使得g'(x0)=0,故g(x)在(0,x0)内递增,在(x0,+∞)内递减. g'(x0)=0,∴-2x0-lnx0=0,∴lnx0=-2x0,故g(x)max=g(x0)=x0+122-14,又x0∈1e,12,∴g(x)max=x0+122-14<12+122-14=34,故f(x)min<34.5.解(1)由f(x)有两个极值点且都小于0,得f'(x)=3x2+3x-4a=0有两个不相等的负实根,∴{Δ=9+48a>0,x1+x2=-1<0,x1x2=-43a>0,解得-3160,则h'(x)=a(a-1)x+3x-(4a-3)=1x(3x-a)[x-(a-1)].令(3x-a)[x-(a-1)]=0,得x=a3或x=a-1,令a3=a-1,得a=32.①当{a3≤0,a-1≤0,即a≤0时,在(0,+∞)上h'(x)>0恒成立;②当{0a3时,h'(x)>0,当0a-...
