课时跟踪检测（二十七）1．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直线l的普通方程．解：(1) x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2＋2y2＝12.直线l恒过的定点为A(2,0)．(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得，(sin2α＋1)t2＋4(cosα)t－8＝0.由t的几何意义知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|. 点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t1t2＝－， |AP|·|AQ|＝|t1t2|＝6，∴＝6，即sin2α＝， α∈(0，π)，∴sinα＝，cosα＝±，∴直线l的斜率k＝±，因此，直线l的方程为y＝(x－2)或y＝－(x－2)．2．(2017·郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为，半径为1的圆．(1)求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．解：(1)消去参数φ可得C1的普通方程为＋y2＝1.由题可知，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)，∴C2的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝1.(2)设M(2cosφ，sinφ)，曲线C2的圆心为C2，则|MC2|＝＝＝＝. －1≤sinφ≤1，∴|MC2|min＝2，|MC2|max＝4.根据题意可得|MN|min＝2－1＝1，|MN|max＝4＋1＝5，即|MN|的取值范围是[1,5]．3．(2017·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．解：(1)由消去参数t，得圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.由ρcos＝－，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B.设点P的坐标为(－5＋cost,3＋sint)，则点P到直线l的距离为d＝＝，所以dmin＝＝2.又|AB|＝2，所以△PAB面积的最小值是Smin＝×2×2＝4.4．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sinθ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsinθ.因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)由直线l的参数方程(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离)设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．即直线GD与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1，又x＋(y0－1)2＝1，可得x0＝－(舍去)或x0＝，所以y0＝，即点D的直角坐标为.5．(2018届高三·广东五校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值．解：(1)由曲线C1：得曲线C1的普通方程为＋y2＝1.由曲线C2：ρsin＝4得，ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.(2)易知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点P(cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝＝，其中φ是锐角且tanφ＝.所以当sin(α＋φ)＝1时，d取得最小值.6．(2017·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sinθ＝0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1,0)．...
