高考数学二轮复习 课时跟踪检测（七）理-人教版高三数学试题VIP免费

课时跟踪检测（七）1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an＋1，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝2－1＝1，满足an＝2n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝，则bn＋1－bn＝－＝，又b1＝log4a1＋1＝1，∴数列{bn}是首项为1，公差d＝的等差数列，∴Tn＝nb1＋d＝.2．(2017·福州质检)已知等差数列{an}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋a9…＋＋a3n.解：(1)依题意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0.因为a2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，所以an＝2n－1.(2)a1＋a3＋a9…＋＋a3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)…＋＋(2×3n－1)＝2×(1＋3＋32…＋＋3n)－(n＋1)＝2×－(n＋1)＝3n＋1－n－2.3．(2018届高三·广东五校联考)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn＝2an－a1，①∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1；②①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.由a1，a2＋1，a3成等差数列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＝2n.(2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.∴bn＝＝＝.∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝＝.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1，由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4，两式相减并化简得an＋1＝an，∴an＝n－1，bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n.(2)由题意知，cn＝＋.令Hn…＝＋＋＋＋，①则Hn…＝＋＋＋＋，②①－②得，Hn…＝＋＋＋＋－＝1－.∴Hn＝2－.又Tn－Hn…＝＋＋＋＝1…－＋－＋＋－＝1－＝，∴Tn＝Hn＋(Tn－Hn)＝2－＋.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n＋1.(1)是否存在实数p，q，使{an＋pn＋q}成等比数列？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由；(2)令bn＝an＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)假设存在实数p，q，使数列{an＋pn＋q}为等比数列，且其公比为A，则由题意得，an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，即an＋1＝Aan＋(Ap－p)n＋Aq－q－p，又an＋1＝2an＋n＋1，∴即∴an＋1＋(n＋1)＋2＝2(an＋n＋2)，当n＝1时，a1＋1＋2＝4，∴存在实数p＝1，q＝2，使数列{an＋pn＋q}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)可知an＋n＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－n－2，n∈N*.∴bn＝an＋2＝2n＋1－n，∴Tn＝(22＋23…＋＋2n＋1)－(1＋2…＋＋n)＝2n＋2－4－＝2n＋2－.