高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十八）文-人教版高三数学试题VIP免费

课时跟踪检测（十八）1．(2017·石家庄质检)设M，N，T是椭圆＋＝1上的三个点，M，N在直线x＝8上的射影分别为M1，N1.(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程．解：(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝＝，又故＋＝0，即＝－，所以k1k2＝－，为定值．(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，S△MNL＝|r－3|·|yM－yN|，S△M1N1L＝·5·|yM1－yN1|.因为S△M1N1L＝5S△MNL，所以·5·|yM1－yN1|＝5·|r－3|·|yM－yN|，又|yM1－yN1|＝|yM－yN|，解得r＝4(舍去)，或r＝2，即直线MN经过点F(2,0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，①当MN垂直于x轴时，MN的中点K即为F(2,0)；②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则消去y得，(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0.x1＋x2＝，x1x2＝.x0＝，y0＝.消去k，整理得(x0－1)2＋＝1(y1≠0)．经检验，(2,0)也满足(x0－1)2＋＝1.综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)2＋＝1(x>0)．2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．3．(2017·宁波模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B，求证：直线AB经过定点．解：(1)由题意得，解得a2＝4，b2＝，椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，当kPA＝1时，lPA：y＝x＋2，∴∴x2＋3(x2＋4x＋4)＝4⇒x＝－1.以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA，PB的斜率均存在，设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)．则x2＋3k2(x2＋4x＋4)＝4⇒xA＝，yA＝，同理xB＝，yB＝－，则＝＝，得证．4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c＝1.由e＝＝得a＝，∴b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝·≠＝＝＝，不合题意．故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，得2k2－m2＋1>0.②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，由kAB·kAC＝·＝得：4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因为m≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3.所以直线BC恒过一定点(0,3)．5．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C：＋y2＝1，过点P(1,0)作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.(1)设点A(0,2)，k＝1，求△AMN的面积；(2)设点B(t,0)，记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k，(k1＋k2)·k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k＝1时，直线l的方程为y＝x－1.由得x＝0或x＝，当x＝0时，y＝－1，当x＝时，y＝，不妨设N(0，－1)，M.所以|AN|＝3.所以S△AMN＝×3×＝.(2)由题意知，直线MN的方程为y＝k(x－1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.由k1＝，k2＝，得(k1＋k2)·k＝k＝k2＝＝＝.若2t－8＝0，则t＝4，(k1＋k2)·k＝0为定值．若2t－8≠0，则当t2－4＝0，即t＝±2时，(k1＋k2)·k＝为定值．所以当t＝4时，(k1＋k2)·k＝0；当t＝2时，(k1＋k2)·k＝－1；当t＝－2时，(k1＋k2)·k＝－.