课时跟踪检测（十七）1．(2017·洛阳统考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1) AB∥l，∴|AB|＝2p.又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，由消去y得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中A，B.∴M，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py即y＝，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．2．(2016·北京高考)已知椭圆C：＋＝1，过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．解：(1)由题意得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.又c＝＝，所以离心率e＝＝.(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|＝＝＝＝2.从而四边形ABNM的面积为定值．3．(2018届高三·广东五校联考)若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且AC＝2CB，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．解：(1)由题意知，c＋＝3，所以b＝c，a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以e＝＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)，因为AC＝2CB，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即2y2＋y1＝0，①由(1)知，a2＝2b2，所以椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.由消去x，得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0，所以y1＋y2＝，②由①②知，y2＝－，y1＝，因为S△AOB＝×|OC|×＝|y1|＋|y2|，所以S△AOB＝3·＝3·≤·＝，当且仅当|k|2＝2，即k＝±时取等号，此时直线l的方程为x＝y－1或x＝－y－1.4．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－b>0)，半焦距为c. 椭圆E的离心率等于，∴c＝a，b2＝a2－c2＝. 以线段PF1为直径的圆经过F2，∴PF2⊥F1F2.∴|PF2|＝. 9PF1·PF2＝1，∴9|PF2|2＝＝1.由得∴椭圆E的方程为＋x2＝1.(2) 直线2x＋1＝0即x＝－与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－相交，∴直线l不可能与x轴垂直，∴设直线l的方程为y＝kx＋m.由得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0. 直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，即m2－k2－9<0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝. 线段MN被直线2x＋1＝0平分，∴2×＋1＝0，即＋1＝0.由得2－(k2＋9)<0. k2＋9>0，∴－1<0，∴k2>3，解得k>或k<－.∴直线l的倾斜角的取值范围为∪.6．(2017·石家庄质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)...
