小学数学中对于数及其运算的几点深入理解（1）对“自然数”的理解——0为什么规定为自然数上世纪90年代以前人们习惯的自然数不包括0，1993年《中华人民共和国国家标准》颁布，规定了0属于自然数。因为，自然数有三大功能，一是基数，二是序数，三是能加法和乘法运算。缺少了0就不完善了。在基数上，0表示没有，是“空集”这个有限集合的元素个数；在顺序上，有时当着起点，如尺子的0厘米；在加乘运算上，如果没有0的自然数，不能运算。在小学数学中所指的整数就是自然数。（2）对于分数的理解小学数学中分数的定义是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。因此，分数的分子、分母都是非0自然数，并且分母不能是1。在小学数学中，像0/3，2/1，0.1/3，4/0.2等的数都不是分数。但是，有时在计算中会出现分子是0的分数，就叫零分数，或分母是1的分数是整数。所以，分数补充定义：当分数m/n的n=1时,m/n=m/1=m；当分数m/n的m=0时，m/n=0/n=0。另一方面，在过去的小学数学里，有繁分数这个概念，可把0.1/3或4/0.2等看成是繁分数。繁分数可化成整数或分数。（3）分数和小数的关系任何一个分数都可化为小数，即是化成有限小数或无限循环小数。但是，并非任何小数都能化成分子、分母都是整数的分数，如无限不循环小数不能化成分数。（4）关于0为什么不能做除数整数除法定义：如果bq=a，那么a÷b=q。这说明除法是乘法的逆运算，已知积和一个因数，求另一个因数。当a=0，b≠0时， b•0=0，∴0÷b=0。如果除数b=0，那么：①当被除数a不为零时，由于任何数乘0都不可能等于a，所以a÷0的商是不存在的；②当被除数a为零时，因为任何数乘0都等于0，所以a÷b的商是不能确定的。因此，规定除法中，除数不能为零。（5）对小学数学整除性的理解①因数和倍数。小学数学是在非0整数（自然数）范围内研究因数和倍数的。在小学数学中的非0自然里，a×b=c,a和b都是c的因数，c是a和b的倍数；从数的整理除性来看，0能被任何非0自然数整除，故0是任何非0自然数整除的倍数，任何非0自然数也都是0的因数，所以在研究因数和倍数时，把0包括在内就没有什么实际意义，因此，小学数学中的0不作为因数、倍数的研究范围。（学习负数后，一个数的倍数可以是负整数）因0不能当除数，任何整数都不是0的倍数，故0没有倍数。②奇数和偶数。小学数学是在自然数中定义奇数和偶数的，所以0是偶数。奇数性质：两个奇数的和或差是偶数；两个奇数的积是奇数；一奇一偶的和或差是奇数；一奇一偶的积是偶数。偶数性质：两偶的和、差、积是偶数。在自然数中，最小的偶数的0，最小的奇数的1。数扩充到全体整数时，就没有最小的整数，也没有最小的奇数（偶数）。人教版五下P22练习题11﹡奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和呢？（设奇数为2n-1，n∈N，设偶数为2n-1，n∈N，可以证明）③质数和合数一个数除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数叫合数，合数至少有3个因数。一个数除了1和它本身外，不再有别的因数，这样的数叫质数，质数都有2个因数。0虽然能被1整除，但不能被它本身整除（0÷0无意义），故O不是质数也不是合数。1不是质数也不是合数。（6）为什么要引进负数？一是人们在生产生活中经常会遇到各种相反意义的量，二是使减法运算永远可以实施。负数的引进，是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则。如负数出现在方程的系数和常数项中，把“卖（收入钱）”作为正则“买（付出钱）”作为负，把“余钱”作为正，则“不足钱”作为负。刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在...
