第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．一元二次方程的概念一个2整式只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______的________方程，叫做一元二次方程．注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．2．一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中________是二次项，________是二次项系数；________是一次项，________是一次项系数；________是常数项．注意：(1)前提条件：a≠0；(2)二次项系数，一次项系数，常数项都是带前面符号的，这是在做题过程中容易忽视的知识点．相等3．一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边__________的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．ax2abxbc知识点1一元二次方程的概念(重点)(1)其中为一元二次方程的有哪些；(2)对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑．【例1】已知关于x的方程：3x＋5＝2x，2x2＋y＝3，2x－x2＝3，5＋x2＝3，x＝27x2.思路点拨：根据一元二次方程的定义即可解答．解：(1)是一元二次方程的有：2x－x2＝3，＋x2＝3和x＝27x2；(2)一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④只含有一个未知数．5【跟踪训练】其中是一元二次方程的有()BA．3个B．4个C．5个D．6个解析：①③④⑦是一元二次方程．1．下列方程：①4x2＝3x；②(x2－2)2＋3x－1＝0；③13x2＋4x－33＝0；④x2＝0；⑤x2－1＝2；⑥6x(x＋5)＝6x2；⑦mx－x2＝2(m是常数)；⑧ax2＋bx＋c＝0；⑨x2－3xy＋y2＝0.2．当m为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)(m－1)x2＋3x＝5；(2)4xm＋3－x－1＝0.解：(1)由题意，得m－1≠0，∴m≠1.(2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.知识点2一元二次方程的一般形式【例2】将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．思路点拨：一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)具有两个特征：(1)方程的右边为0；(2)左边的二次项系数不能为0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项时，不要漏掉其前面的符号．解：去括号，得40－16x－10x＋4x2＝18，移项，得4x2－26x＋22＝0，其中二次项系数为4，一次项系数为－26，常数项为22.【跟踪训练】3．把方程x(2x－1)＝1化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，)Ab，c的一组值是(A．2，－1，－1C．2,1，－1B．2，－1,1D．2,1,14．把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x2＝5x－1；(2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)．解：(1)一般形式为3x2－5x＋1＝0，二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1.(2)一般形式为ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为a，一次项系数为－(a＋b)，常数项为－c.知识点3一元二次方程的解(难点)【例3】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m的值．思路点拨：一根为2即x＝2为方程的解，故只需把x＝2代入原方程．解：把x＝2代入(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0，得4(m－1)＋6－5m＋4＝0.解得m＝6.【跟踪训练】5．已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的)一个根，则m的值是(A．1C．0B．－1D．无法确定6．如果2是一元二次方程x2＋2x＝c的一个根，那么常数c是()DA．2B．－4C．6D．8B7．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：－1必是该方程的一个根．证明：∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，∴a＋c＝b.∴当x＝－1时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0，∴－1必是该方程的一个根．
