2016学年度第二学期高三理科数学专题复习内容：函数与方程思想【函数与方程思想的含义】1、函数的思想；函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。2、方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。【函数与方程思想在解题中的应用】1、函数与不等式的相互转化。对函数，当时，就化为不等式，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。2、数列的通项与前项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。3、解决几何中的许多问题。例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。4、立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【类型一：函数与方程思想在方程问题中的应用】例l、如果方程在上有解，求实数的取值范围。规律总结：研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解得问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决。变式训练、(1)已知方程有两个实根，求实数的取值范围。(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围。【类型二：函数与方程思想在数列中的应用】例2、已知数列是各项均为正数的等差数列。(1)若，且成等比数列，求数列的通项公式；(2)在(1)的条件下，数列的前项和为，设，若对任意1的，不等式恒成立，求实数的最小值。规律总结：(1)等差（比）数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意运用函数的思想求解。变式训练、(1)已知是等比数列，其公比是有理数，前项和为求的值。(2)数列都是等比数列，当时，，若数列唯一，求。【类型三：函数与方程思想在不等式中的应用】例3、已知函数，当时，求证：。规律总结：根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想。变式训练、设，证明：当时，【类型四：函数与方程思想在平面解析几何中的应用】例4、椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且。(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围。规律总结：利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤：第一步、联立方程；第二步、求解判别式第三步、代换。利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换；第四步、下结论。将上述等量代换式代入或中，即可求出目标参数的取值范围；第五步、回顾反思。在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节。变式训练、已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，坐标原点到过右焦点且斜率为l的直线的距离为。(1)求椭圆的方程；2(2)设过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，在线段上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。参考答案3456789
