直线与圆椭圆的几种题型、面积问题:1.【2012高考安徽文20】(本小题满分13分)如图，FF2分别是椭圆C匚+右=1a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，ZFAF=60°.12(I)求椭圆C的离心率；(II)已知△AF1B的面积为40打，求a,b的值.c1解：(I)ZFAF=60。oa=2coe==—12a2(II)设|BF?在ABFF中，|BFI2=|BFI2+IFFI2—21BFIxlFFlxcos120o121v12'111^'12'o(2a—m)23=m2+a2+amom=—a5AAF1B面积13|FF|x|ABxsin60。oxax(a+—a)x2125=10,c=5,b=5、.：32.【2102高考北京文19】(本小题共14分)x2y2已知椭圆C：+厂=1(a>b>0)的一个顶点为Aa2b2(2,0)，离心率为直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N(I)求椭圆C的方程(II)当AAMN的面积为亍时，求k的值a=2解：(1)由题意得＜—=^-解得b二^/2.所以椭圆C的方程为〒+£~=1.a242a2=b2+c2(2)由＜x2y2得(1+2k2)x2—4k2x+2k2—4=0.—^―=1〔42设点M,N的坐标分别为(x,y)，114k2x+x二121+2k2(x,y)，则y=k(x—1)，22112k2—4xx二121+2k2y=k(x—1)，221+2k所以△AMN的面积为S二2丨MNI・d=1k1''；：6也e2+a22丿=1n竺+a4a2—13=1n+——=1na4—4a2+4=0na2=2a44x2+y22my1一1=0ny1V2m2+2所以IMNI=(x一x)2+(y一y)2=J(1+k2)[(x+x)2一4xx]="1+妁)("+仏2)21211212|k|由因为点A(2,0)到直线y=k(x—1)的距离d二1+2k2IkIJ4+6k2<10,j.由FkL=，解得k=±1-、定值问题3.【2012高考江苏19】(16分)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆—+—=1(a>b>0)的左、右焦点分a2b2别为F(—c,0),F(c,0)•已知(1,e)和12(3)卜，亍了在椭圆上，其中中为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF与直线BF平行，AF与BF交于点P.1⑴若AF—BF2讶，求直线年的斜率;(ii)求证：PF+PF是定值.12c解：(1)由题设知，a2=b2+c2，e=一，由点(1,e)在椭圆上，得a12e21c2'=1n'=1nb2+c2=a2b2na2=a2b2nb2=1，/.c2=a2一1。由点a2b2a2a2b2(2)由(1)得F(—1,0)，F(1,0)，又JAF〃BF，1212.:设AF、BF的方程分另ij为my=x+1，my=x—1，A(x，y),B(x，y),y>0，y>0。12112212++y12=1n(m2+2)y12my1=x1+1AF斤1眄兀两〒冇•叱!些二出也刃。①m2+m2+同理，<2(m2+1)一m\m2+1BF=。②i)由①②得，2m\：m2+12m”m2+1、：6。解=一得m2=2。ii)・•・皿=迈…•.直线AF的斜率为丄=21m2ii)PBBF+证PF1AF1AFPF=1一1AF+BF12-BF2BF同理。PF=—2一一2AF+BF-AF1•PF1+PF2=几厂厂)BF-BF丿+2_(2<2-AF)=2迈-2A"©1AF1+BF2・•・pF1+pF2=2迈壬存故椭圆E的方程x2y2+=1.AFl・•・PF=—1BF。由点B在椭圆上知，BF+BF=2^2,1AF+BF11212・•・PF+PF是定值。20.【2012高考天津19】(本小题满分14分)124.【2012高考湖南文21】(本小题满分13分)1在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.(I)求椭圆E的方程；1(II)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线11，12都与圆C相切时，求P的坐标.解析：(I)由x2+y2-4x+2=0，得(x-2)2+y2=2.故圆C的圆心为点x2y2(2,0),从而可设椭圆E的方程为一+厂=1(a>b>0),其焦距为2c，由题设知a2b2c1c=2,e==—a=2c=4,b2=a2一c2=12.a2由①②得，m2+1，AF・BF=，|2k+y一kx10n旳+1=J2，即［(2—x)2—2k2+2(2—x)yk+0二"—2=0.同理可—x)2—2k2+2(2—x)yk+y2—2—0.o~小…小从而q,k2是方程［(2-x0)0-2k2+2(2-x)yk+y2-2二0的两个实根’于(2—x)2—2丰0,_o(2—x)2+y2—2>0,-oo」①且kik2—(2一x匚—2—2-2誘+器-1,1612「°“八c10得5x2-8x一36—0.解得x—2,或x—一y2—21000050——(2—x)2—22J0由x=—2得y=±3;由x二158得y=土異,它们满足①式，故点P的坐标为505(—2,3)，或(—2,—3)，或(等，弓)(II)设点P的坐标为*，y0)，li,的斜分率分别为ki,k2-则li,的方程分别为1l:y—y—k(x—x),l:y—y—k(x—x),且kk—.由l与圆c:(x—2)2+y2—2相切，得101020201221三、比值问题5.【2012高考山东文21】(本小题满分13分)如图，椭圆M:兰+兰—1(a>b>0)的离心率为亘，直线x—±a和y—±b所围成的矩形ABCD的面a2b22(I)求椭圆M的标准方程；(II)设直线l:y—x+m(meR)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求些^的最大值及取得最...
