2009~2013年高考真题备选题库第8章平面解析几何第6节双曲线考点一双曲线的定义、标准方程1．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝＝＝＝，双曲线C2的离心率e2＝＝＝＝＝＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cosθ，虚轴长为2b1＝2sinθ，焦距为2c1＝2＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sinθ，虚轴长为2b2＝2sinθsinθ，焦距为2c2＝2＝2＝2tanθ，所以A，B，C均不对，故选D.答案：D2．（2013天津，5分）已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，意在考查考生的运算求解能力．抛物线y2＝8x的准线x＝－2过双曲线的一个焦点，所以c＝2，又离心率为2，所以a＝1，b＝＝，所以该双曲线的方程为x2－＝1.答案：x2－＝13．（2012湖南，5分）已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：根据已知列出方程即可．c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x经过点(2,1)，所以a＝2b，所以25＝4b2＋b2，由此得b2＝5，a2＝20，故所求的双曲线方程是－＝1.答案：A4．（2011安徽，5分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．4解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.答案：C5．（2012天津，5分）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________b＝________.解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.答案：126．（2011山东，4分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.答案：－＝1.考点二双曲线的简单几何性质1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程等基本知识． e2＝＝＝1＋＝，∴＝，∴＝，∴y＝±x.答案：C2．（2013福建，5分）双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C．1D.解析：本题主要考查双曲线的图像与性质以及点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．双曲线x2－y3＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为.答案：B3．（2013浙江，5分）如图F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.B.C.D.解析：本题主要考查椭圆与双曲线的定义、几何性质等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况，以及基本的运算和求解能力．由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.答案：D4．（2013重庆，5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.，2B.，2C.∞，＋D.∞，＋解析：本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k(k>0)必须满足
