2009~2013年高考真题备选题库第9章概率第3节几何概型考点几何概型1．（2013湖南，5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝()A.B.C.D.解析：本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力．由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝.答案：D2．（2013福建，4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．解析：本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．因为0≤a≤1，由3a－1>0得
0”发生的概率为＝.答案：3．（2013湖北，5分）在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.解析：本题以非常简单的区间和不等式的解集立意，考查几何概型．由几何概型知：＝⇒m＝3.答案：34．（2012北京，5分）设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.B.C.D.解析：不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域D内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2＋y2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为.答案：D5．（2012湖北，5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.－B.C．1－D.解析：设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2[π·()2－×()2]＝，两个半圆外部的阴影部分面积为πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率为＝1－.答案：C6．（2011福建，5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.B.C.D.解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.答案：C7．（2011湖南，5分）已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．解析：根据点到直线的距离公式得d＝＝5；设直线4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则＝3，取c＝15，则直线4x＋3y＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是2，则可得直线4x＋3y＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是.答案：58．(2010福建，12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.(1)证明：AD∥平面EFGH；(2)设AB＝2AA1＝2a，在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自几何体A1ABFE－D1DCGH内的概率为P.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF＝a，求P的最小值．解：法一：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1.又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴AD∥平面EFGH.(2)设BC＝b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝AB·BC·AA1＝2a2b，几何体EB1F－HC1G的体积V1＝(EB1·B1F)·B1C1＝EB1·B1F.∵EB＋B1F2＝a2，∴EB1·B1F≤＝，当且仅当EB1＝B1F＝a时等号成立．从而V1≤.∴p＝1－≥1－＝，当且仅当EB1＝B1F＝a时等号成立．所以P的最小值等于.法二：(1)同解法一．(2)设BC＝b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝AB·BC·AA1＝2a2b，几何体EB1F－HC1G的体积V1＝(EB1·B1F)·B1C1＝EB1·B1F.设∠B1EF＝θ(0°≤θ≤90°)，则EB1＝acosθ，B1F＝asinθ.故EB1·B1F＝a2sinθcosθ＝sin2θ≤，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝45°时等号成立．从而V1≤.∴P＝1－≥1－＝，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝45°时等号成立．所以P的最小值等于.
