第10节平面向量的数量积一、知识梳理两个向量的夹角定义：已知两个向量和,作，，则叫向量和的夹角.范围：向量夹角的范围是,向量和同向时,夹角=;向量和反向时,夹角=.向量垂直：如果向量和的夹角=,则向量和垂直,记作.平面向量的数量积定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量叫做向量和的数量积(或内积),记作,即=,并规定：零向量与任一向量的数量积为0;几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角).向量的数量积的性质设和都是非零向量,是与的夹角,则当和同向时,=.当和反向时,=.当为锐角时，，且和不同向，；当为钝角时，且和不反向，；特别地:==，或=||.(是和的夹角).平面向量数量积的坐标表示设==(是和的夹角).若的起点坐标和终点坐标分别为,则=.二、基础训练★若与的夹角为,则=;★若则；★已知则和的夹角为；★若则和的夹角为；★已知且和的夹角为，则=.第1页共9页★★已知两个单位向量的夹角为，若向量，则；★★已知向量则当时，向量与平行.★★已知向量满足，且，则的形状是.★★如图(1)，在矩形中，点为的中点，点在边上，若则的值为.(9题)(第10题)★★★如图，已知中，是的中点，若向量且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是.三、例题选讲★例已知，（1）;(2);分别求.已知向量，求和第2页共9页★例设为坐标原点，为单位圆上的两点，且，则=.已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影是多少？★★例在中,是的中点，,点在上且满足学,求的值.如图，在中，已知点分别在边上，且为的中点，则=.第3页共9页(2)★★例已知向量，，，.求证：四边形为矩形；若为直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.科,,X,★★★例如图，半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点为PQ上任意一点，则的取值范围是.第4页共9页四、课后总结重视数量积的定义、模、夹角等公式；应用向量运算将问题转化为代数函数有关的问题，转化是关键；计算向量数量积时要注意方法的选择，一种是利用坐标运算，另一种是整体运算，化归成基本向量的数量积运算。答案：一、知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量和,作，，则叫向量和的夹角.(2)范围：向量夹角的范围是,向量和同向时,夹角=;向量和反向时,夹角=.(3)向量垂直：如果向量和的夹角=,则向量和垂直,记作。2.平面向量的数量积定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量叫做向量和的数量积(或内积),记作,即=,并规定：零向量与任一向量的数量积为0.几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角).3.向量的数量积的性质设和都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则(1)当和同向时,=.当和反向时,=.当为锐角时，，且和不同向，；当为钝角时，且和不反向.(2)特别地:==，或=第5页共9页(3)||.(4)(是和的夹角).4.平面向量数量积的坐标表示设(1)=(2)=(3)=0（4）(是和的夹角).(5)若的起点坐标和终点坐标分别为,则=。二、基础训练1．若与的夹角为,则=;2若则-2；3.已知则和的夹角为；4.若则和的夹角为；5．已知且和的夹角为，则=1.6.已知两个单位向量的夹角为，若向量，则-6；7.已知向量则当-13时，向量与平行.8.已知向量满足，且，则的形状是等边三角形.9.如图(1)，在矩形中，点为的中点，点在边上，第6页共9页若则的值为2.(9题)10.如图，已知中，是的中点，若向量且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是(-2，6).三、例题选讲例1（1）已知，（1）;(2);分别求.（2）已知向量，求和例2（1）设为坐标原点，为单位圆上的两点，且，则=22.第7页共9页（2）已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影是多少？（2）【解析】由题可得，则有（3）例3（1）在中,是的中点，,点在上且满足学,求的值。由题可得则有（2）如图，在中，已知点分别在边上，且为的中点，则4.(2)例4.已知向量，，，.第8页共9页（1）求证：四边形为矩形；（2）若为直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.解：（1）由题可得易得所以四边形为矩形。（2）设由题可得，时取最小值此时，，科,网Z,X,X,K例5如图，半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点，为PQ上任意一点，则的取值范围是3522，.第9页共9页
