高三数学（理）直线的方程、两条直线的位置关系 知识精讲人教版VIP专享VIP免费

高三数学（理）直线的方程、两条直线的位置关系知识精讲人教版【本讲教育信息】一.教学内容：直线的方程、两条直线的位置关系二.教学重、难点：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。【典型例题】[例1]已知点P到两个定点M（），N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。解：设点P的坐标为（x，y）由题设有即∴① N到PM的距离为1，∴∴PM的方程为：②②代入①：∴∴P（）或（）；或∴PN的方程为或[例2]已知的顶点A（3，4），B（6，0），C（），求的内角平分线AT所在的直线方程。解：方法一： 直线AC到AT的角等于AT到AB的角又 ，设AT的斜率为或，则化简得，解之，得或（舍去）∴直线AT的方程为即所求的方程为方法二：设直线AT上的动点P（x，y）则P点到AC、AB的距离相等 ∴直线AB的方程为，即直线AC的方程为用心爱心专心116号编辑即那么即或结合图形分析知是的角A外角的平分线，故舍去。∴所求的方程为[例3]的三个顶点分别为A（），B（2，1），C（），试分别求出：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线的方程。解：（1）由题意，根据直线方程的两点式，可得BC边所在直线的方程为，即（2）由题意，BC中点P的坐标为（0，2）又A（），可由直线方程的截距式求得中线AD所在直线的方程为，即。（3）由题意，，其中点为（0，2），BC的垂直平分线的斜率为2，由直线方程的斜截式，求得直线方程为，即[例4]已知两直线，，当为何值时，与（1）相交；（2）平行；（3）重合?解：当时，∴当m时，∴与相交当且时，由，得或由，得故（1）当，且时，与相交（2）当或时，（3）当时，与重合[例5]已知点P（2，），求：（1）过P点与原点距离为2的直线的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。解：（1）过P点的直线与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）且垂直于轴的直线满足条件此时的斜率不存在，其方程为若斜率存在，设的方程为，即由已知，得解之，得此时的方程为用心爱心专心116号编辑综上，可得直线的方程为或（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由，得所以。由直线方程的点斜式得，即故直线是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线[例6]已知函数，求的最小值，并求取得最小值时的值。解： 它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在轴上求一点P（x，0）与点A（1，1），B（2，2）的距离之和的最小值。由图可知转化为求两点和间的距离，其距离为函数的最小值∴的最小值为再由直线方程的两点式得方程为令，得当时，的最小值为[例7]已知n条直线，…（其中），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n。（1）求；（2）求与轴、轴围成的图形的面积；（3）求与及x轴、y轴围成的图形的面积。解：（1）原点O到的距离为1，原点O到的距离为1+2，…原点O到的距离为 ∴（2）设直线交x轴于M，交y轴于N，则面积用心爱心专心116号编辑（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知，则有∴∴所求面积为[例8]已知三条直线：（），直线：和直线：，且与的距离是。（1）求a的值；（2）求到的角（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到的距离是P点到的距离的；③P点到的距离与P点到的距离之比是？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由。解：（1）即∴与的距离∴∴ ∴（2）由（1），即∴，而的斜率∴ ∴（3）设点P（），若P点满足条件②，则P点在与平行的直线：上，且即或∴或若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有即∴或由P在第一象限∴不可能联立方程和解得...