高三数学（文）多面体部分复习知识精讲人教版【本讲教育信息】一.教学内容：多面体部分复习二.知识结构：【典型例题】[例1]斜三棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=10，AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C三点等距离，侧棱长是13，求该三棱柱的侧面积。解题：解法1：如图1，取BC的中点D，连结AD，则BC⊥AD作A1O⊥底面ABC于O，则由已知，点O在AD上，故即侧面BCC1B1为矩形，取AB中点E，连结OE、由，则A1E⊥AB由已知可求得则即侧面积为396图1解法2：如图2，取BC中点D，连结AD、A1D、A1B、A1C用心爱心专心116号编辑作DE⊥AA1于E，连结BE、CE，则平面BCE，故AA1⊥BE，AA1⊥CE即为棱柱的直截面故（的周长）×侧棱长在等腰三角形中，，则故同理所以图2小结：斜棱柱的侧面积的计算可利用求各侧面的面积和，如解法1，也可利用求直截面的周长与侧棱之积，如解法2。[例2]已知正四棱柱，点E在棱上，平面AEC，且平面AEC与底面ABCD所成的角为，求：三棱锥的体积。解题：解法1：如图3所示，连结BD交AC于O则为面AEC与底面ABCD所成的二面角的平面角，即易得AC=BD=，，故四边形BDD1B1为正方形连结B1D交BD1于P，交EO于Q由B1D⊥BD1，EO//BD1，则B1D⊥EO故B1D⊥面AEC，则B1Q为三棱锥的高由DO=DQ，则B1Q又故图3解法2：连结B1O，则三棱锥可以看成由三棱锥和三棱锥合成的，故用心爱心专心116号编辑而由E、O分别为正方形BDD1B1、DD1、BD的中点，则故小结：解法1直接利用锥体体积公式求解，而解法2利用切割的方法，将所求三棱锥的体积分割成两个三棱锥体积之和，合理分割或拼补可以简化体积运算，这需要一定的空间想象能力和逻辑推理能力，应加强这方面的训练。[例3]已知某三棱锥的侧棱长均为，侧面三角形的顶角中有两个均为，另一个为，求该三棱锥的体积。解题：如图4，设三棱锥P—ABC中，，PA=PB=PC=作AO⊥平面PBC于O，由∠APB=∠APC则O在∠BPC的平分线上故∠BPO=∠CPO=作OE⊥BP于E，OF⊥CP于F，连结AE、AF，则AE⊥BP，AF⊥CP，且AE=AF在中，，在中，在中，又则由，故所求三棱锥的体积为图4小结：本题若直接计算以为底面的三棱锥P—ABC的体积，运算非常繁琐，但利用体积交换转化求等体积的另一个三棱锥，问题就非常简单了，我们在有关体积的计算问题中，经常运用这种体积变换的思想方法。[例4]如图5，平行四边形ABCD中，，M，N分别是边CD、AB的中点，沿MN将面ADMN折起（1）当二面角A—MN—B为时，求三棱柱ABN—DCM的侧面积和体积；（2）当二面角A—MN—B为多大时，这个三棱柱体积有最大值，并求出该最大值。用心爱心专心116号编辑图5解题：（1）折叠前，连结BD，并设在中，AD=a，AB=2a，，由余弦定理，有由，则AD⊥BD，又由MN//AD，故BD⊥MN于点O折叠后，由BO⊥MN，DO⊥MN，则为二面角A—MN—B的平面角，即由，则连结BD，正三角形BOD为三棱柱的直截面，故（2）设，由直截面为，并且故三棱柱的体积为当，即时，三棱柱体积有最大值为小结：棱柱的侧面积可用直截面的周长与侧棱长乘积求得，棱柱的体积除用底面积与高乘积求得外，还可利用直截面面积与侧棱乘积求得，设棱柱高为，侧棱为，则体积公式为：或。[例5]如图6，正三棱锥A—BCD中，底面边长为，侧棱长为，过点B作与棱AC，AD相交的截面，在这样的截面三角形中（1）求周长的最小值；（2）求周长最小时截得小三棱锥的侧面积；（3）求用此周长最小的截面所截的小三棱锥与原棱锥体积之比。图6解题：（1）如图7，将正三棱锥的侧面沿侧棱AB展开，当B、E、F共线时，BE、EF、FB长度之和即的长，为截面周长的最小值。在中，，由余弦定理，有由，则用心爱心专心116号编辑在中，。由余弦定理有故截面的最小值为图7（2）小三棱锥A—BEF的侧面积即的面积，由则=故故截面周长最小时，截得小三棱锥A—BEF的侧面积为（3）当棱锥截面周长最小时，有EF//CD，过A作AQ⊥CD，交CD于Q，交于P在中，在中，由EF//CD，则由，则即截面周长最小时，小三棱锥与原棱锥体积之比为小结：在空间图形中，若求某几何体两个面内两点的最短距离时，常把几何体沿棱或母线展开成平面图形，从而把空间折线或曲线转化成平面图形的直线来处理。[例6]如图8，已知四棱柱，ABCD为菱形，AB=2，AA1=1，（1）...
