中常用函数模型归纳及应用山东莘县观城中学郭银生岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。现归纳常用的函数模型及其常见应用如下：一．常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。例1．已知x∈(0,],关于方程2sin(x+)=a有两个不同的实数解，则实数a的取植范围是（）A．[-2，2]B.[,2]C.(,2]D.(,2)解析；令y=2sin(x+),y=a画出函数y=2sin(x+)，y=a图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知(,2)，选D7654321-1-2-3-4-5-6-7-10-8-6-4-2246810二．一次函数y=kx+b(k≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。例2．不等式2x+1≤m(x-1)对一切│m│≤2恒成立，则x的范围是（）A．-2≤x≤2B.≤x≤0C.0≤x≤D.≤x≤解析：不等式可化为m(x-1)-2x+1≥0设f(m)=m(x-1)-2x+1若x=1,f(m)=-3＜0(舍)则x≠1则f(m)是关于m的一次函数，要使不等式在│m│≤2条件下恒成立，只需，解之可得答案D用心爱心专心三．二次函数y=ax+bx+c(a≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。例3．（1）.若关于x的方程x+ax+a-1=0有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（）解析：令f(x)=x+ax+a-1由题意得f(0)=a-1＜0,即-1＜a＜1即可。一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。例4．函数f(x)=x-4x-4在闭区间[t,t+1]t∈R上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。解：f(x)=（x-2）-8当t＞2时，f(x)在[t,t+1]上是增函数∴g(t)=f(t)=t-4t-4当t≤2≤t+1即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=-8当t+1＜2即t＜1时f(x)在[t,t+1]上是减函数g(t)=f(t+1)=t-2t-7,从而g(t)=评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中，对称轴x=2确定，而区间[t,t+1]不确定即“定轴不定区间”，二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴”、“不定轴不定区间”问题，但方法都一样，“讨论对称轴和区间的位置关系”。例5．①如果函数y=a+2a-1(a>0且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，求a的值。②．f(x)=-sinx+sinx+a,若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围。以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意──等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。解题过程略。答案：①.a=3或②3≤a≤4例6.已知a,b为常数，且a>0,f(x)=x+(1-a)x-3ax+b(1).若函数f(x)的极大值是2，求a和b的关系式（2）.若函数f(x)的极大值是2，且在区间[0，3]上的最小值是-，求a和b的值。解答过程略。答案：(1).3a+2b=3（2）.a=2,b=-四．绝对值函数y=│x│这是偶函数，是画y=a│x│(a≠0)图象的基础，当a>0时,开口向上；当a<0时，开口向下。用心爱心专心8642-2-4-6-10-5510例7．画出函数y=︱︱︱x︱-1︱-1│按照以下的变换的方式即可：y=│x│y=│x│-1y=︱︱x︱-1︱y=︱︱x︱-1︱-1y=︱︱︱x︱-1︱-1│︳，答案如上图所示。例8．函数y=a│x│和y=x+a图象恰有两个交点，则a的取值范围是（）A.(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：（ⅰ）若a=0,y=a│x│=0与y=x只有一个交点；(ⅱ)若0＜a≤1,则y=a│x│和y=x+a只有一个交点；（ⅲ）若a＞1,则y=a│x│和y=x+a有两个交点；（ⅳ）若-1≤a＜0,则y=a│x│和y=x+a只有一个交点；（ⅴ）若a＜-1,则y=a│x│和y=x+a有两个交点；选D五．折...
