高三数学题型专题--应用性问题的解法VIP专享VIP免费

应用性问题的解法1.内容概要：高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.2.典例精析：类型一：函数应用题例1：（2008年湖北卷理科）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期?全品高考网（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.分析：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.解析：（Ⅰ）①当时，，化简得,解得，或，又，故.②当时，，化简得,解得，又,故.综合得,或；用心爱心专心故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V′（t）=令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V′(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米类型二：数列应用题例2：（2007年安徽卷理科）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．解析：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得用心爱心专心．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．类型三：其他类型的应用题例3：（2008年湖南卷理科）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解:（I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.用心爱心专心由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于...