高三数学第一轮复习：4－5第一章绝对值的三角不等式人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：4－5/第一章/绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法二.教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法三.知识分析［绝对值的三角不等式］定理1若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。（2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。|a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。定理2设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。推论1推论2［不等式证明的基本方法］1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果用心爱心专心表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。【典型例题】例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：证明：证法一：①当ab≤－1时，式①显然成立；当ab>－1时，式①② a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。证法二：当a=－b时，原不等式显然成立；当a≠－b时，∴原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：。思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。证明：故原不等式成立。点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。例3、函数的定义域为［0，1］且。当∈［0，1］，时都有用心爱心专心，求证：。证明：不妨设，以下分两种情形讨论。若则，若则综上所述点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。例4、已知a>0，b>0，求证：。思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。证明：①②∴原不等式成立。点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。例5、设x>0，y>0，且x≠y，求证：思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。证明： x>0，y>0，且x≠y，用心爱心专心点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举...
