高三数学第一轮复习：4－5第一章不等式的基本性质（理）人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：4－5/第一章/不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二.教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三.教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四.知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a，b，有，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．【单向性】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【双向性】（1）（2）（3）单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如的高次不等式时，若n为偶数时要注意讨论．3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得，要么是强化了条件，而得用心爱心专心【基本不等式】定理1设，则，当且仅当时，等号成立。定理2如果a，b为正数，则，当且仅当时，等号成立。定理3如果a，b，c为正数，则，当且仅当时，等号成立。定理4（一般形式的算术—几何平均值不等式）如果，，…，为n个正数，则，并且当且仅当时，等号成立。说明：在公式及的学习中，应注意几点：（1）和成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数。例如，成立，而不成立。（2）关于不等式及的含义。或表示严格的不等式；或表示非严格的不等式。不等式“”读作c大于或等于d，其含义是“或者，或者”，等价于“c不小于d”，即若或有一个正确，则正确。不等式“”读作c小于或等于d，其含义是“，或者”，等价于“c不大于d”，即若或c=d中有一个正确，则正确。（3）这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当时，当且仅当时等号成立”的含义要搞清楚，它的含义是：当时，，当时，；当时，，当时，。对基本不等式：a，b为正数，则当且仅当时等号成立，作类似理解。定理1~定理4的不等式中，都给出了等号成立的充分必要条件，这些条件为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础，因此定理中等号成立的条件要求掌握。【不等式的解法】1.一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：，若，则其解集为。若，则其解集为。用心爱心专心若；，解集为R；时，解集为。2.一元二次不等式通过同解变形，一元二次不等式可化为：或。不妨设方程的两根为、且。（1）若，则的解集为，的解集为。（2）若，不等式的解集为，不等式的解集为。（3）当，则不等式的解集为R，不等式的解集为。3.高次不等式高次不等式通过同解变形可化为：或（）。不妨设，运用图像法可求解。用表示每个因式的符号及符号的图像，可决定或的解集。如图所示，时，的符号均为正，从而，所以是>0的解。依此可求出不等式0或的解集。4.分式不等式（1）。（2）。（3）（4）。5.含有绝对值的不等式的主要类型及解法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。【典型例题】例1.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假。（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；用心爱心专心（4）若，则；（5）若，则。解析：（1）因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题。（2）因为，所以只有时才能正确，时，，所以是假命题。变式：若，则，命题是真命题。（3），，，，命题是真命题。（4）由性质定理，命题是假命题。（5）例如，命题是假命题。。点评：不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式。例2.实数a、b、c、d满足下列三个条件：①；②；③。请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论。思路：本题条件较多，从何入手？如果两两比较，一般需要进行次，但如果能找到一个合理的程序，则可减少解题的层次。解析：由式①得。点评：由于找到了一个合理程序，上面的解法没有浪费一点笔墨，干净利落。例3....
