高三数学立体几何中的证明（文）人教实验版（A）知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学立体几何中的证明（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何中的证明二.重点、难点：1.平面几何中的一些结论（1）中点，中位线（2）平行四边形（3）等腰三角形，中点（4）勾股定理（5）菱形，矩形2.立体几何中的定义，判定定理，性质定理3.立体几何中的精典的结论（见例1）【典型例题】[例1]以下结论中正确的作“√”，不正确的画“×”（1）①②③④⑤⑥（2）①②③④⑤⑥（3）①②③④⑤⑥⑦⑧答案：（1）①⑥√；②③④⑤×（2）②⑥√；①③④⑤×（3）①②④⑤⑦⑧√；③⑥×[例2]异面直线，，，AD，DB，BE，EC，CF中点依次为M、N、P、Q、R，求证：M、N、P、Q、R五点共面。证明：如图∴MN、PQ确定平面同理NP//QR，确定平面∴有三个公共点，N、P、QN、P、Q不共线确定唯一一个平面∴重合∴M、N、P、Q、R共面推广：连接异面直线所有线段中点共面用心爱心专心[例3]如图正方形ABCD，ABEF，M∈AC，N∈BF，且AM=FN，求证：MN//面BCE。证明：（1）过M作MP/AB交BC于P，过N作NQ//AB交BE于Q，连PQMPQN面BCE（2）过M作MH//BC交AB于H，过N作，交AB于∴重合 [例4]四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为菱形，，求证：（1）面ACC1A1⊥面ABCD；（2）ACC1A1⊥面BDD1B1；（3）矩形BDD1B1。用心爱心专心证明：（1）过B作BH⊥AA1于H，过D作于H，H′重合∴AA1⊥面BDH∴AA1⊥面BDH（2）面ACC1A1面BDD1B1⊥面ACC1A1（3）BD⊥DD1矩形BDD1B1[例5]PA⊥矩形ABCD，M、N为PC、AB中点。（1）求证：MN⊥AB；（2）若二面角P—CD—AB成45°，求证：面MND⊥面PDC。证明：（1）E为CD中点∴EN⊥ABME//PD∴AB⊥ME∴AB⊥面MEN∴AB⊥MN（2）为二面角P—CD—AB平面角用心爱心专心[例6]已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q。求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线；（3）DE、BF、CC1三线共点。证明：（1） EF是△D1B1C1的中位线∴EF//B1D1在正方体AC1中，B1D1//BD∴EF//BD∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面（2）正方体AC1中设A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为 ∴，又Q∈EF，∴Q则Q是与的公共点同理，P点也是与的公共点∴∴R∈A1C∴R∈，且∴R是的公共点∴P，Q，R三点共线（3） ∴∴四边形BDEF是梯形，从而两腰DE，BF必相交于一点M M∈DE，DE面CDD1C1∴M∈平面CDD1C1同理M∈面BCC1B1∴M∈面CDD1C1∩面BCC1B1=CC1∴DE，BF，CC1共点于点M[例7]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点。求证：（1）AP⊥MN；（2）平面MNP//平面A1BD。用心爱心专心分析：（1）找出AP在面BB1C1C上的射影，利用三垂线定理证明。（2）由于M，N，P都为中点，故添加B1C，B1D1作为联系的桥梁。证明：（1）连BC1，B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影。∴AP⊥B1C，又B1C//MN∴AP⊥MN（2）证法一：连结B1D1 P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN//B1D1又B1D1//BD∴PN//BD又PN平面A1BD，∴PN//平面A1BD同理MN//平面A1BD，又PN∩MN=N∴平面PMN//平面A1BD证法二：连结AC1，AC，如图所示 ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD又CC1⊥面ABCD∴AC为AC1在面ABCD上的射影∴AC1⊥BD同理可证AC1⊥A1B∴AC1⊥平面A1BD同理可证AC1⊥平面PMN∴平面PMN//平面A1BD[例8]如图所示，已知两条异面直线AB与CD所成的角等于，且AB=m，CD=n，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上。（1）求证：四边形MNPQ是平行四边形；（2）当M点在何位置时，MNPQ的面积最大？最大面积是多少？解析：（1）证明：由于AB//平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ=MN，则AB//MN，同理AB//PQ。由公理4得MN//PQ，同理MQ//NP，故四边形MNPQ是平行四边形。（2）由于AB与CD所成的角等于，AB//MN，CD//MQ，则设，则用心爱心专心，则于是其中当，即=1时，达到最大值。故当M点位于AC中点时，MNPQ的面积最大，最大面积等于。[例9]如图所示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。分析：欲证线线垂直，可证线面垂直。证明： SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC...