高三数学直线与圆锥曲线（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直线与圆锥曲线二.重点、难点：1.曲线：2.直线：（1）无交点（2）一个交点，相切（3）两个交点P、Q【典型例题】[例1]A（4，1）过A作交曲线M于P、Q，A恰为PQ中点，求。（1）（2）（3）解：（1）设，∴∴∴A为PQ中点∴，∴∴用心爱心专心（2）同理：（3）同理：[例2]过曲线M的焦点F，作直线交曲线M于A、B，求的最小值。（1）（2）（3）解：（1）①设<1>交于两支∴时，<2>交于右支∴②综上所述，（2）同理：（3）同理：[例3]（1）椭圆，直线，若M上存在两个不同的点，关于对称，求m的取值范围。（2）双曲线，直线，若M上存在两个不同的点关于对称，求k的取值范围。解：（1）设对称点A，B∴用心爱心专心∴∴∴（2）设对称点A、B∴∴∴[例4]椭圆M，中心在原点，焦点在x轴，直线交椭圆于P、Q，且OP⊥OQ，，求椭圆方程。解：设椭圆∴设∴∴用心爱心专心令∴∴∴[例5]曲线P在M上，A（1，2），B（3，8），求最小值。与AB平行的曲线的切线：依图∴[例6]已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（，0），右顶点为D（2，0），设点A。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；用心爱心专心（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。解析：（1）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴又 椭圆的焦点在x轴上∴椭圆的标准方程为（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（）由，得由点P在椭圆上，得∴线段PA中点M的轨迹方程是（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此△ABC的面积S△ABC=1当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为，代入解得，则，又因为点A到直线BC的距离∴△ABC的面积，于是由，得，其中，当时，等号成立∴的最大值是[例7]如图，双曲线的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且。用心爱心专心（1）求双曲线的方程；（2）设A（m，0）和是x轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线，使得交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于x轴。解析：（1）根据题设条件，，设点M（x，y），则x，y满足因，解得，故利用，得，于是因此，所求双曲线方程为（2）证明：设点C（），D（），E（），则直线的方程为于是两点坐标满足将<1>代入<2>得由（点C在双曲线上），上面方程可化简为用心爱心专心由已知，显然于是，因为，得同理，两点坐标满足可解得所以，故直线DE垂直于x轴。[例8]已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件，记动点P的轨迹为W。（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值。解析：解法一：（1）由知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长。又半焦距，故虚半轴长∴W的方程为（2）设A，B的坐标分别为当AB⊥x轴时，，从而当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，与W的方法联立，消去y得，故∴用心爱心专心又 ，∴，从而综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2解法二：（1）同解法一（2）设A，B的坐标分别为，则令，则，且∴当且仅当，即时“=”成立∴的最小值是2[例9]无论m为何值，直线：与双曲线C：恒有公共点。（1）求C的离心率的取值范围；（2）若直线过C的右焦点F与双曲线交于P、Q，并且满足，求C的方程。解：（1）∴①时，m=0方程组无解，不合题意②，恒成立，即恒成立∴∴（2）设：，∴∴ ∴用心爱心专心又 ∴∴[例10]如图F（1，0），点M在x轴上，若且向量与的交点在y轴上。（1）求N的轨迹；（2）是否存在过点（－1，0）的直线交轨迹于A、B且，并说明理由。解：（1）设N（x，y），M（a，0）与的交点为P，∴P为中点，且∴∴，∴∴（2）设存在直线满足条件令∴∴用心爱心专心定值∴不存在使=4[例11]如图，已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设（1）求的解析式；（2）求的最值。考查方向：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合。知识背景：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值...
