高三数学文科数列(一)等差数列一.本周教学内容:数列(一)等差数列二.知识讲解:1.判定(1)定义法()(2)等差中项法(3)通项公式法()(4)前项和法2.性质为等差(1)若(2)为的子数列,,若为A.P则也是A.P(即等差间隔抽取的子数列也是A.P),(如:…)如数列仍成等差数列,公差(3)中依次项和仍成A.P,公差,…如…仍成A.P,公差(4)设为所有奇数项之和为所有偶数项之和①若为奇数,则事实上,②若为偶数,则,(5)用心爱心专心115号编辑【典型例题】[例1]设数列的前项和为,证明为等差数列的充要条件是()证明:()若为等差,则,故()当时,由题设,故同理从而即由此对任意,成立,即为等差数列[例2]等差数列中,已知,求的值。解:注意到()只需求的值由则条件即,所以注:一般地有以下结论:在等差数列中,如果有正整数()及正整数使则事实上,由故0,上题中,故[例3]等差数列中,已知,,求。解:由用心爱心专心115号编辑[例4]等差数列中,已知,求。解:即①②②-①得:而成A.P且公差即[例5]两个等差数列和的前项和分别为与,且,求的值。解:由,则[例6]一等差数列的前项和为100,前100项和为10,求该数列前110项之和。解:已知,,求由仍为A.P,则,三点共线,于是[例7]在等差数列中,项数为奇数。若奇数项和,偶数项和,则项数为多少,中间一项的值是多少?解:又[例8]一个等差数列共11项,则其所有奇数项与所有偶数项之和的比是多少?解:由[例9]设等差数列满足且,为其前项之和,则中最大的是()A.S10B.S11C.S20D.S21解:由由用心爱心专心115号编辑由,则,故有最大值时,为最大设故当时,,相应的Sn为最大,故选C。[例10]等差数列前项和的最大值为,且,求使的的最大值。解:依题意(1)当即时,由,则(2)当时,由,又,则[例11](2004年北京春考试题)下表给出一个“等差数阵”47()()()……712()()()……()()()()()……()()()()()……………………………………………………其中每行、每列都是等差数列,表示位于第行第列的数(1)写出的值;(2)写出的计算公式;(3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1,可以分解成两个不是1的正整数之积。解:(1)该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的A.P,则第二行是首项为7,公差为5的A.P由,则第四列是首项为13,公差为9的A.P(2)由(1)有则第列是首项为,公差为的A.P用心爱心专心115号编辑则(3)必要性:若N在该等差数阵中,则存在正整数使得,从而这表明正整数可以分解为两个不是1的正整数之积充分性:若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数,使得从而可见正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。[例12](05江苏23)设数列的前项和为,已知,,,且,其中A、B为常数。(1)求A与B的值;(2)证明数列为等差数列;(3)证明不等式对任何正整数都成立解:(1)由已知,得,由知(2)由(1)得①所以②由②-①得③所以④由④-③得因为,所以因为,所以即又,所以为等差数列(3)由(2)可知,(*)由于则(*)由命题得证。用心爱心专心115号编辑